Из теоремы 110 следует, что если частные производные функции f : E → R непрерывны в области E Rn, то функция f дифференцируема в любой точке этой области.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
6.5. Производная по направлению.
Фиксируем декартову систему координат
~ в пространстве и ненулевой гео-
(O,~ı,~|, k) V3
метрический вектор ~a = (a1, a2, a3). Пусть задана f : E → R, E R3 и внутренняя точка
M0(x0, y0, z0) E.
При достаточно малых t R, t > 0, точка
Mt(x0 + ta1, y0 + ta2, z0 + ta3) E. Обозначим Mt(x0 + ta1, y0 + ta2, z0 + ta3) ≡ M0 + t · ~a.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
lim
t→0+
Определение 154. Если существует конечный предел
f (M0 + t · ~a) − f (M0), t · |~a|
то этот предел называется производной функ-
ции f в точке M0 |
по направлению ~a и обо- |
значается ∂f(M0), т.е. |
|
|
|
|
∂~a |
|
|
|
|
∂f(M0) |
:= lim |
f (M0 + t · ~a) − f (M0) |
. |
|
∂~a |
|
t→0+ |
t |
~a |
|
|
|
|
· | | |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Направление в пространстве удобно задавать единичным геометрическим вектором, координаты которого направляющие косинусы:
~
l = (cos α, cos β, cos γ).
Покажем, что если существует ∂f(M0), то она
∂~a
не зависит от длины фиксированного геометрического вектора ~a.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Обозначим через a~ |
= |
~a |
– орт вектора ~a. За- |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|~a| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пишем координаты вектора a~0 : |
a~0 |
= |
a1 |
, |
a2 |
, |
|
a3 |
|
= (cos α, cos β, cos γ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
| | |
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
~a |
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда
∂f(M0) 154
∂~a
=
= lim
t→0+
lim |
f (M0 + t ·~a) − f (M0) |
= |
|
t→0+ |
|
t |
· | | |
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
|
|
f (x0 + ta1,y0 + ta2,z0 + ta3) − f (M0) |
= |
|
|
|
|
|
t · |~a| |
|
|
|
= |
Замена: |
= |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
f (x0 |
+ ucos α,y0 + ucos β,z0 |
+ ucos γ) |
− |
f (M0) 154 |
= lim |
u |
· | |
a~0 |
| |
|
|
= |
u→0+ |
|
|
∂f(M0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
∂a~0 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
•Last
∂a~0
Замечание 1. Пусть задан геометрический вектор ~a и a~0 орт геометрического вектора ~a.
Тогда
∂f(M0) = ∂f(M0). ∂~a
•First •Prev •Next •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 111. Если функция f : E → R, E R3 дифференцируемая во внутренней точке M0(x0, y0, z0) E, то для любого единично-
го вектора ~ существует l = (cos α, cos β, cos γ)
∂f(M0) и
~
∂l
|
∂f(M0) |
= |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
= |
∂f(M0) |
·cos α+ |
∂f(M0) |
·cos β+ |
∂f(M0) |
·cos γ. |
∂x |
|
|
∂y |
∂z |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Дадим приращение каждой координате точки M0 специальным способом:
x = t · cos α, y = t · cos β, z = t · cos γ, t > 0.
Выбираем t таким, чтобы точка
Mt(x0 + t · cos α, y0 + t · cos β, z0 + t · cos γ) E.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда
|
|
|
107 |
(f дифференцируемая в точке M0) = |
|
+ tl~) |
− |
f(M0) = |
|
f(M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∂f(M0) |
· t · cos α + |
∂f(M0) |
· t · cos β+ |
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
∂f(M0) |
|
|
|
|
cos γ + o(t), при t |
|
|
|
154 |
+ |
|
|
|
|
· |
t |
· |
→ |
0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(M0) |
|
|
|
f |
|
M0 |
+ t |
~ |
− |
f (M0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
· |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
t |
|
0+ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂l |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
t l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· | | ∂f(M0) |
|
|
|
|
∂f(M0) |
· |
|
|
|
∂f(M0) |
· |
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
cos α + |
|
|
|
|
|
cos β + |
|
|
|
cos γ |
. |
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
