∂f(x) ∂xn
6.4. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке.
Пусть задана |
f : E → R, E Rn и x0 = |
x01, x02, . . . , x0n! |
внутренняя точка множества E. |
Теорема 110. Если функция f : E → R, E Rn
имеет в каждой точке некоторой ε- окрест-
ности внутренней точки x0 множества E все частные производные ∂f∂x(x1 ), ∂f∂x(x2 ), . . . , , то из
их непрерывности в точке x0 следует дифференцируемость функции f в этой точке.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Идею доказательства покажем для функции двух переменных.
Пусть точка M0(x0, y0) E внутренняя точка и функция f : E → R имеет частные производные
∂f(x,y) |
, |
∂f(x,y) |
в каждой точке некоторой ε- окрест- |
∂x |
|
∂y |
|
ности точки M0 непрерывные в точке M0. Пусть,
далее, точка M(x0 + x, y0 + y) Uε(M0). Запишем приращение функции f в виде:
опр.
f (M0; (Δx, y)) =
= f(x0 + x, y0 + y) − f(x0, y0) = (6.6)
= [f(x0 + x, y0 + y) − f(x0, y0 + y)] + + [f(x0, y0 + y) − f(x0, y0)] .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Обозначим
f(x, y0 + y) = ϕ(x) и f(x0, y) = ψ(y).
Преобразуем первое слагаемое из (6.6): |
|
[f(x0 + x, y0 + y) − f(x0, y0 + y)] = |
|
|
|
|
|
80 |
|
|
= ϕ(x0 + x) − ϕ(x0) = |
(6.7) |
|
= ϕ0(x0 + θ1 |
x) · |
|
x = |
|
|
|
|
6.4 |
|
= |
∂f(x0 + θ1 x, y0 |
+ y) |
· |
x, |
|
∂x |
|
|
где 0 ≤ θ1 ≤ 1
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Преобразуем второе слагаемое из (6.6):
[f(x0, y0 + y) − f(x0, y0)] = |
|
|
|
|
80 |
|
= ψ(y0 + y) − ψ(y0) = |
(6.8) |
|
= ψ0(y0 + θ2 y) · |
y = |
|
|
|
6.5 |
|
= |
|
∂f(x0, y0 + θ2 y) |
· y, |
|
|
∂y |
|
где 0 ≤ θ2 ≤ 1
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Из условия непрерывности частных производ-
ных |
∂f(x,y) |
, |
∂f(x,y) |
в точке M0 получаем: |
∂x |
∂y |
|
|
|
∂f(x, y) |
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна в точке |
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x0 + θ1 x, y0 |
+ y) ∂f(x0, y0) |
|
28 |
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y) |
|
(0,0) |
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x0+θ1 x,y0+Δy) |
= |
∂f(x0,y0) |
+ α1(Δx, |
|
|
∂x |
|
|
|
∂x |
|
|
|
где α |
(Δx, y) |
→ |
0 |
при (Δx, y) |
→ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
∂f(x, y) |
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна в точке |
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x0, y0 + θ2 y) |
∂f(x0, y0) |
|
28 |
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y) |
|
(0,0) |
|
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x0,y0+θ2 y) |
= |
∂f(x0,y0) + α2(Δx, y), |
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
где |
|
→ |
|
при |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
α2(Δx, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(Δx, y) |
(0, 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.10) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда, подставляя (6.7), (6.9) и (6.8), (6.10) в (6.6), получим:
|
|
|
|
|
f (M0; (Δx, y)) = |
= |
∂f(x0, y0) |
· |
x + |
∂f(x0, y0) |
· |
y+ |
∂x |
|
∂y |
|
+ α1(Δx, |
y) · |
x + α2(Δx, |
y) · |
y, (6.11) |
| |
|
|
|
|
β(Δ |
{z |
|
y) |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
x, |
|
|
|
|
|
где α1(Δx, |
y) → 0 и α2(Δx, |
y) → 0 |
|
|
|
|
|
при (Δx, y) → (0, 0). |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Покажем, |
что β(Δx, y) |
есть бесконеч- |
но малая |
более высокого |
|
|
порядка |
чем |
s |
|
, т.е. |
|
|
|
|
(Δx)2 + (Δy)2 |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
β(Δx, y) |
|
|
= 0 |
(6.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,0) s(Δx)2 + (Δy)2 |
|
|
(Δx, y) |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Соотношение (6.12) следует из оценок:
|
|
β(Δx, y) |
|
|
6.11 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
(Δx) |
+ (Δy) |
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1(Δx, y) |
|
x + α2(Δx, y) |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Δx) |
+ (Δy) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.13 |
|
y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ α2(Δx, |
|
y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
· |
(Δx) |
|
+ (Δy) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
(Δx) |
|
|
+ (Δy) |
|
|
|
≤ |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y) |
|
|
|
|
| |
x |
| |
|
|
|
|
+ |
|
α |
(Δx, y) |
|
|
|
|
|
|
| |
y |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| · r(Δx)2 + (Δy)2 |
| |
| · r(Δx)2 + (Δy)2 |
≤ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |α1(Δx, y)| + |α2(Δx, y)| , |
|
|
|
|
|
т.к. |
|
|
|
|
| |
|
|
x| |
|
|
|
|
|
|
1 и |
|
| |
|
|
y| |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
r(Δx)2 + (Δy)2 ≤ |
r(Δx)2 + (Δy)2 |
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак, мы показали, что
|
|
|
|
|
|
f (M0; (Δx, y)) = |
= |
∂f(x0, y0) |
· |
x + |
∂f(x0, y0) |
· y + o((Δx, |
y)), |
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
при (Δx, y) → (0, 0), |
т.е. функция |
f дифференцируема в |
точке |
M0. |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
