Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x, y) = 5x2y3.
Решение.
∂f(x,y) |
|
∂ |
|
5x2y3! |
шаг 1. |
|
|
|
|
|
)0 |
шаг 2. |
|
|
|
|
x2 |
y3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
= |
|
= |
( |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5y3 x2!x0 |
|
5y32x = 10xy3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
шаг 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x,y) |
|
∂ |
|
5x2y3! |
шаг 5. |
(5x2 |
y3 )0 |
шаг 6. |
|
|
|
|
|
= |
|
= |
= |
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
=5x2 |
y3!y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 7. Вычисляем производную от степенной функции.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x, y) = 5x2y3.
Решение.
|
∂f(x,y) |
|
|
∂ |
|
5x2y3! |
шаг 1. |
|
|
|
|
|
)0 |
шаг 2. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
y3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
( |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5y3 x2!x0 |
|
5y32x = 10xy3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
шаг 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x,y) |
|
|
∂ |
|
5x2y3! |
шаг 5. |
(5x2 |
y3 )0 |
шаг 6. |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
= |
|
∂x |
∂x |
|
|
= |
5x23y2 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
= 5x2 y3!y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шаг 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3!0y = 3y2 – (см. пример 87).
Шаг 8. Записываем ответ. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x, y) = 5x2y3.
Решение.
∂f(x,y) |
|
|
∂ |
|
5x2y3! |
шаг 1. |
|
|
|
|
|
|
|
)0 |
шаг 2. |
|
|
|
|
|
x2 |
y3 |
|
|
|
|
( |
5 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
= |
|
|
5y32x = 10xy3. |
|
|
= 5y3 x2!x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шаг 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x,y) |
|
|
∂ |
|
5x2y3! |
шаг 5. |
(5x2 |
y3 )0 |
шаг 6. |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
= |
∂x |
∂x |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= 5x2 y3!y0 |
|
|
|
5x23y2 = 15x2y2. |
|
|
|
|
|
|
|
шаг 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
5x |
y |
= 10xy |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
2 |
|
|
3 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
5x |
y |
|
= 15x |
y |
|
. |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
6.3. Необходимые условия дифференцируемости функции в
точке.
Пусть задана f : E → R, E Rn.
Теорема 108. Если функция f : E → R, E
Rn дифференцируема в предельной точке x0 E, то функция f непрерывна в этой точке.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
|
|
|
|
|
|
|
|
152 |
(f дифференцируема в точке x0) = |
|
|
x |
1 |
+ a2 |
· x |
2 |
+ · · · |
f(x0, x) = a1 · |
|
|
· · · + an · xn + o(Δx), при |
x → 0) = |
|
lim |
f(x0, |
|
|
|
56 |
|
x) = 0 |
= |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
(f − непрерывна в точке x0.)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Таким образом, взаимоотношение непрерывности и дифференцируемости функции в точке в многомерном случае такое же как и в одномерном.
Совсем иначе обстоит дело во взаимоотношениях частных производных и дифференциала. Для функции одной переменной наличие дифференциала и наличие производной у функции в точке были условиями равносильными.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 109. Если функция f : E → R, E
Rn дифференцируема во внутренней точке x0 E, то в этой точке существуют частные производные функции f по каждой переменной.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
Фиксируем произвольное i {1, 2, 3, . . . , n}. Так как функция f дифференцируема во внутренней точке x0 E, то, в силу определения 152,
f(x0, xi) = ai · xi + o(Δxi),
при xi → 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Откуда следует, что |
|
|
|
|
|
|
f(x0, xi) |
= ai |
+ |
o(Δxi) |
|
xi |
|
xi |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
f(x0, xi) |
|
lim |
|
|
|
|
|
= ai, |
|
|
xi |
|
|
|
|
xi→0 |
|
|
|
|
т.е., в силу определения 153, |
|
|
|
∂f(x0) |
|
ai = |
|
|
. |
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Обратное утверждение не имеет места.
Пример 123. Функция
|
|
0, |
если xy = 0, |
|
|
|
|
f(x, y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
6 |
|
|
|
|
если xy = 0, |
равна нулю на осях координат и потому имеет в точке (0, 0) обе частные производные равные нулю. Но эта функция недифференцируема в точке (0, 0), так как она разрывна в этой точке (см. теорему 108).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
