Учитывая, что dxi |
= |
xi, i = 1, 2, . . . , n, фор- |
мулу (6.2) можно переписать в виде |
|
|
∂f(x |
) |
|
|
|
∂f(x |
) |
|
|
|
|
df(x0) = |
0 |
|
|
· dx1 |
+ |
|
0 |
|
· dx2 + · · · |
∂x1 |
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x |
) |
|
|
|
|
|
|
· · · + |
|
0 |
|
|
· dxn. |
|
|
|
|
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Если в каждой точке x D E существуют
частные производные ∂f∂x(xi ), i = 1, 2, . . . , n, то они задают новые функции
∂x∂fi : D → R, D E Rn, i = 1, 2, . . . , n.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Алгоритм вычисления частных производных. Пусть M0(x0, y0) E точка в которой существу-
ют частные производные ∂f(M0) |
, ∂f(M0) |
. Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
f(x, y0) = ϕ(x) и f(x0, y) = ψ(y). Тогда |
|
∂f(M0) |
|
|
f(M0, x) |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x0, x) |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
= ϕ0(x0) (6.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(M0) |
|
|
f(M0, y) |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
y→0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ(y0, y) |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
= ψ0(y0) (6.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
x |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
При вычислении частной производной по x вычисляем обычную производную по переменной x, при этом с переменной y обращаемся как с константой.
При вычислении частной производной по y вычисляем обычную производную по переменной y, при этом с переменной x обращаемся как с константой.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 122. Найти частные производные
функции
f(x, y) = 5x2y3.
Решение.
|
∂f(x,y) |
= |
|
∂ |
5x2y3! = ? |
|
∂x |
∂x |
|
|
|
Шаг 1. При вычислении частной производной по x вычисляем обычную производную по переменной x, при этом с переменной y обращаемся как с константой.
Пометим цветными прямоугольниками константы формулы, задающей функцию f. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x, y) = 5x2y3.
Решение.
∂f(x,y) |
|
|
∂ |
5x2y3! |
шаг 1. |
|
|
|
|
)0 |
|
|
|
|
x2 |
y3 |
|
|
( |
5 |
|
= |
|
= |
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x2 – степенная функция.
Шаг 2. Константы вынесем за знак производной.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x, y) = 5x2y3.
Решение.
∂f(x,y) |
|
|
∂ |
5x2y3! |
шаг 1. |
|
|
|
|
)0 |
шаг 2. |
|
|
|
|
x2 |
y3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
= |
|
= |
( |
= |
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x2!x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 3. Вычисляем производную от степенной функции.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x, y) = 5x2y3.
Решение.
∂f(x,y) |
|
|
∂ |
|
5x2y3! |
шаг 1. |
|
|
|
|
)0 |
шаг 2. |
|
|
|
|
|
x2 |
y3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
= |
|
|
= |
( |
= |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
= |
5y32x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
= 5y3 x2!x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шаг 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2!0x = 2x – (см. пример 87).
∂f(x,y)
Шаг 4. Найдём частную производную ∂y . Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 122 Найти частные
функции
f(x, y) = 5x2y3.
Решение.
|
∂f(x,y) |
|
|
∂ |
|
5x2y3! |
шаг 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
( |
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5y32x = 10xy3. |
|
= 5y3 x2!x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
шаг 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x,y) |
= |
|
∂ |
|
5x2y3! = ? |
|
|
|
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производные
0 шаг 2.
)x =
Шаг 5.При вычислении частной производной по y вычисляем обычную производную по переменной y, при этом с переменной x
обращаемся как с константой.
Пометим цветными прямоугольниками константы формулы, задающей функцию f.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x, y) = 5x2y3.
Решение.
∂f(x,y) |
|
|
∂ |
|
5x2y3! |
шаг 1. |
|
|
|
|
|
)0 |
шаг 2. |
|
|
|
|
|
x2 |
y3 |
|
|
|
( |
5 |
|
|
|
= |
|
|
= |
= |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5y3 x2!x0 |
|
5y32x = 10xy3. |
|
|
|
|
|
|
|
шаг 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x,y) |
|
|
∂ |
|
5x2y3! |
шаг 5. |
(5x2 |
y3 )0 |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y3 – это степенная функция.
Шаг 6. Константы вынесем за знак производной.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
