mathanaliz

Глава 6

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

6.1.Дифференцируемость и дифференциал

функции в точке.

Пусть задана f : E → R, E Rn и

x0 = x10, x20, . . . , xn0 !T E предельная точка мно-

жества E. Дадим аргументу x приращение x = x1, x2, . . . , xn!T так чтобы x0 + x E. Обо-

значим

f(x0, x) := f(x0 + x) − f(x0)

и будем называть приращением функции f в точке x0, вызванное приращением аргумента x.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 152. Функция f : E → R, E

Rn называется дифференцируемой в точке x0 E, предельной для множества E, если приращение f(x0, x) функции f можно представить в виде

в (6.1) называется дифференциалом функции f в точке x0 E и обозначается df(x0).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание 1. Функция f дифференцируема в точке x0 E, если изменение её значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью до поправки бесконечно малой по сравнению с величиной x смещения от точки x0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

6.2.Частные производные функции в точке.

Пусть задана f : E → R, E Rn дифференцируе- мая во внутренней точке x0 E. Дадим аргументу x приращение

так чтобы x0 + x E. Обозначим

f(x0, xi) := f(x0 + x) − f(x0)

и будем называть частным приращением функции f в точке x0, вызванное приращением аргумента по координате xi.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда, в силу дифференцируемости функции f во внутренней точке x0 E, f(x0, xi) функции f можно представить в виде

f(x0, xi) = ai · xi + o(Δxi),

при xi → 0.

Это равенство означает, что если фиксировать

в функции f(x1, . . . , xn) все переменные, кроме одной i-й переменной, то получаемая при этом функция i-ой переменной оказывается

дифференцируемой в точке xi.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 153. Если существует

то он называется частной производной функции f в точке x0 = (x10, x20, . . . , xn0 )T по переменной xi и обозначается одним из сим-

волов

∂f(xi0), fx0 i(x0). ∂x

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 107. Если f : E → R, E Rn дифференцируема во внутренней точке x0 E, то в этой точке функция f имеет частные производные по каждой переменной и дифференциал функции однозначно определяется этими частными производными в виде

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Пусть f : E → R, E Rn

дифференцируема во внутренней точке x0 E. Тогда, в силу определения 152,

df(x0) = a1 · x1 + a2 · x2 + · · · + an · xn.

Фиксируем произвольное i {1, 2, 3, . . . , n}. Так как функция f : E → R, E Rn дифференцируема во внутренней точке x0 E, то, в силу определения 152,

f(x0, xi) = ai · xi + o(Δxi),

при xi → 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit