Пример 121 Найти асимптоты графика функции
s
f(x) = x2 − 1.
Нарисовать эскиз графика функции f. Решение. Шаг 1. dom f = (−∞, −1] S[1, +∞). Шаг 2. k = −1.
В силу теоремы 105,
|
√x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3.19.3 |
|
|
|
x |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
| | · |
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
k = lim |
|
|
|
− |
|
= |
|
∞ |
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ |
x |
|
r |
|
∞1 |
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
v |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= lim |
− |
|
· |
|
|
− |
|
|
|
= |
|
lim |
u1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
− x |
|
− |
|
|
→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→−∞ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 3. Уравнение асимптоты графика функции при x → −∞ ищем в виде Ï− : y = −x+b. Найдите b.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 121 Найти асимптоты графика функции
s
f(x) = x2 − 1.
Нарисовать эскиз графика функции f.
Решение. Шаг 1. dom f |
= (−∞, −1] S[1, +∞). |
Шаг 2. k = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 3. b = 0, Ï |
|
: y = |
|
x. |
|
|
|
|
|
В силу теоремы 105, − |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = x lim |
√ |
|
|
|
+ x = ( |
|
) = |
|
x2 |
− |
1 |
|
|
→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ − ∞ |
|
|
|
|
|
= x lim |
|
√ |
|
−1 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
2 |
− 1 − x |
|
|
|
|
|
→−∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 4. Уравнение асимптоты графика функции при x → +∞ ищем в виде Ï+ : y = kx+b. Найдите k.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 121 Найти асимптоты графика функции
s
f(x) = x2 − 1.
Нарисовать эскиз графика функции f. Решение. Шаг 1. dom f = (−∞, −1] S[1, +∞). Шаг 2. k = −1. Шаг 3. b = 0, Ï− : y = −x. Шаг 4. k = 1.
В силу теоремы 106,
√x2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3.19.3 |
|
|
x |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
| | · |
|
|
|
− |
1 |
|
|
k = lim |
|
|
− |
|
|
= |
|
∞ |
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ x |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
x2 |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
· − |
|
|
|
|
= |
lim |
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
u |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 5. Уравнение асимптоты графика функции при x → +∞ ищем в виде Ï+ : y = x + b. Найдите b.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 121 Найти асимптоты графика функции
s
f(x) = x2 − 1.
Нарисовать эскиз графика функции f. Решение. Шаг 1. dom f = (−∞, −1] S[1, +∞).
Шаг 2. k = −1. Шаг 3. b = 0, Ï− : y = −x. Шаг 4. k = 1. Шаг 5. b = 0, Ï+ : y = x.
В силу теоремы 106,
b = x→+∞ |
|
√ |
x |
2 |
− 1 |
− x = (∞ − ∞) = |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
−1 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
√x2 − 1 + x |
|
Посмотрите график функции f на рис. 5.20.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
y |
|
0 |
x |
Рис. 5.20 Асимптоты графика функции f(x) = |
√x2 − 1 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.10.Построение графика функции.
Для наглядного описания функции очень часто используют её графическое представление. Как правило, такое представление бывает полезно для обсуждения качественных вопросов поведения исследуемой функции. При этом график функции должен правильно отражать основные элементы поведения функции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
При построении графика функции можно использовать следующую схему:
•Если задана элементарная функция и не указана область определения функции, то найти её естественную область определения.
•Отметить (если они есть) особенности функции (периодичность, чётность и нечётность, сохранение знака), найти точки пересечения графика функции с осями координат.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
•Если граничные точки области определения функции принадлежат ей, то найти значения функции в этих точках, в противном случае – выяснить поведение функции при стремлении x к "граничным точкам" области её определения.
•Найти точки разрыва функции и определить их тип.
•Найти асимптоты графика функции или убедится в их отсутствии.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
•Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.
•Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба графика функции.
По результатам такого исследования строится график функции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Исследование функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
