Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ï : y = kx + b асимптота |
|
151 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x, f(x)) |
|
graff |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (M, Ï) = |f(x) |
−kx−b| |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
√1+k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x |
→ ∞ |
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
→ ∞ |
(f(x) |
|
|
|
|
|
x lim |
|
kx |
|
|
b) = 0 |
|
|
f(x) = kx + b + α(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
где α(x) |
|
0 при x |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 105. Прямая Ï : y = kx + b является асимптотой графика функции f при x → −∞ тогда и только тогда, когда
|
lim |
f(x) |
= k; |
|
x |
x lim |
x→−∞ |
(5.39) |
(f(x) − kx) = b. |
→−∞ |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. |
|
|
|
|
|
Ï : y = kx + b асимптота |
|
104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = kx + b + α(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где α(x) |
|
0 при x |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ −∞ |
|
|
x |
lim |
f(x) |
= k; |
|
|
→−∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
(f(x) |
− |
kx) = b. |
x |
→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 106. Прямая Ï : y = kx + b является асимптотой графика функции f при x → +∞ тогда и только тогда, когда
|
lim |
|
f(x) |
= k; |
|
|
|
|
x + |
x→+∞ x |
(5.40) |
|
− |
kx) = b. |
lim (f(x) |
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Ï : y = kx + b асимптота |
|
104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = kx + b + α(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где α(x) |
|
|
0 при x |
|
|
+ |
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x |
lim |
f(x) |
= k; |
|
|
+ |
x |
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
(f(x) |
− |
kx) = |
x |
+ |
∞ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание 1. Функция f : (−∞, +∞) → R
может иметь две различные асимптоты при x → −∞ и при x → +∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание 2. Если хотя бы один из пределов (5.39) [(5.40)] не существует или равен ∞, то график функции f асимптоты при x → −∞ [x → +∞] не имеет.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 121. Найти асимптоты графика функции
s
f(x) = x2 − 1.
Нарисовать эскиз графика функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 121 Найти асимптоты графика функции
s
f(x) = x2 − 1.
Нарисовать эскиз графика функции f. Решение. √
Шаг 1. Функция f(x) = x2 − 1 – элементарная функция и не указана область определения этой функции. Согласно соглашению
о области определения элементарных функций (см. раздел 3.7),
√
функция f(x) = x2 − 1 определена в естественной области опре-
деления – dom f. Причём, в силу теоремы 66 о непрерывности
√
элементарных функций, функция f(x) = x2 − 1 непрерывна на
dom f.
Найдите dom f и перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 121 Найти асимптоты графика функции
s
f(x) = x2 − 1.
Нарисовать эскиз графика функции f.
Решение.
Шаг 1. dom f = (−∞, −1] S[1, +∞).
Подкоренное выражение отрицательное для всех x (−1, 1).
Шаг 2. Уравнение асимптоты графика функции при x → −∞ ищем в виде
Ï− : y = kx + b.
Найдите k.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
