В силу теоремы 102, решения уравнения f00(x) = 0, являются абсциссами точек подозрительных на перегиб графика функции. Кроме этого, точки в которых не существу-
ет f00, также являются абсциссами точек подозрительных на перегиб графика функции. Достаточные условия того, что точка, подозрительная на перегиб графика функции, действительно является точкой перегиба графика функции, даёт следующая теорема.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 103. Пусть f : (a, b) → R и в точке (x0, f(x0)) graff можно провести касательную к графику функции f. Если существует Uε(x0) такая, что:
1. функция f имеет непрерывную вторую
ε(x0);
2.x (x0 − ε, x0) : f00(x) > 0 (f00(x) < 0);
3.x (x0, x0 + ε) : f00(x) < 0 (f00(x) > 0).производную в
Тогда точка (x0, f(x0)) graff является точкой перегиба графика функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Пусть существует Uε(x0)
такая, что
(в точке (x0, f(x0)) |
|
graff можно провести касательную ) |
|
|
( x (x0 |
ε, x0) : f00(x) > 0 (f00(x) < 0)) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95 и 100 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
− |
100 и 95 |
|
(f строго выпукла (строго вогнута) на интервале (x |
|
|
|
|
|
ε, x )) |
|
|
( x (x0, x0 + ε) : f00(x) < 0 (f00(x) > 0)) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f строго вогнута (строго выпукла) на интервале (x0, x0 + ε)) |
|
((x0, f(x0)) graff является точкой перегиба графика функции f)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ
По графику функции выделите интервалы вогнутости и выпуклости функции.
Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Проследите в каких точках график функции переходит с одной стороны касательной к нему в этой точке на другую сторону.
Нажмите на кнопку second derivative (вторая производная). На рисунке появится график второй производной. Протащите снова мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Точки, в которых вторая производная обращается в нуль, являются подозрительными на перегиб графика функции. Проследите как меняется знак второй производной при переходе через эти точки.
Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 120. Найти промежутки выпуклости
и вогнутости, а также точки перегиба графика, функции f(x) = 3x2 − x3.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение.Функция f - элементарная функция и не указана область определения этой функции. Согласно соглашению об области определения элементарных функций, функция f определена в естественной области определения - domf = R. Причём, в силу теоремы 66 о непрерывности элементарных функций, функция f непрерывна на dom f. Более того, функция f имеет непрерывную
вторую производную на domf.
Находим f0(x) = 6x − 3x2, f00(x) = 6 − 6x.
При x (−∞, 1) имеем f00(x) > 0 и, в силу теоремы 95, функция f строго выпуклая на (−∞, 1). На интервале (1, +∞) функция f строго вогнута, так как x (1, +∞) : f00(x) < 0 (см. теорему 95). Тогда, в силу теоремы 103, точка (1, 2) является точкой перегиба графика функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.9. Асимптоты графика функции.
Пусть f : A → R и множество A - неограни-
ченное. Так как множество A неограниченно, а размеры чертежа конечны, то мы не можем
изобразить весь график функции f на чертеже. В таких случаях за пределами черте-
жа стараются оставить части графика, о виде которых легко составить представление, исхо-
дя из того, что начерчено. Например, график функции f(x) = sin x, в силу её периодичности, достаточно изобразить на любом промежутке длинною 2π.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 151. Прямая Ï называется
асимптотой графика функции f при x → −∞ (x → +∞), если расстояние от точки (x, f(x)) graff до прямой Ï стремится к нулю при x → −∞ (x → +∞).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 104. Прямая Ï : y = kx + b является асимптотой графика функции f при x → ∞ тогда и только тогда когда
f(x) = kx+b+α(x), где α(x) → 0 при x → ∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
