mathanaliz

Пример 119 Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции

x4

f(x) = x3 − 2.

√

Решение. Шаг 1. dom f = R \ { 3 2}.

– интервалы монотонности функции f0.

Продолжение на следующей странице.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

гнутая.

По теореме 95 и теореме 100 находим интервалы выпуклости и вогнутости функции f.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

5.8.7. Точки перегиба графика функции.

Пусть f : (a, b) → R.

Определение 150. Точка графика (x0, f(x0))

называется его точкой перегиба, если:

1.в точке (x0, f(x0)) можно провести касательную к графику функции f (касательная может быть и вертикальной);

2.существует Uε(x0) такая, что функция f выпукла (вогнута) на интервале (x0 −ε, x0) и вогнута (выпукла) на интервале (x0, x0 + ε).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Таким образом, при переходе через точку перегиба выпуклость сменяется вогнутостью (вогнутость сменяется выпуклостью) функции, т.е. в точке (x0, f(x0)) график функции переходит с одной стороны касательной к нему в этой точке на другую сторону [см. теорему 96 и теорему 101].

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ

По графику функции выделите интервалы вогнутости и выпуклости функции.

Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Проследите в каких точках график функции переходит с одной стороны касательной к нему в этой точке на другую сторону. Это и есть точки перегиба графика функции.

Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следующая теорема даёт аналитический признак абсциссы точки перегиба графика функции.

Теорема 102. Пусть f : (a, b) → R и (x0, f(x0))

точка перегиба графика функции f. Пусть, далее, функция f дифференцируема в неко-

торой ε - окрестности точки x0. Тогда, если существует f00(x0), то f00(x0) = 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Пусть (x0, f(x0)) точка перегиба графика функции f. Тогда, в силу определения 150, существует Uε(x0) такая, что

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit