Теорема 101. Дважды дифференцируемая на интервале (a, b) функция f : (a, b) → R вогнута на (a, b) тогда и только тогда, когда график функции всеми своими точками лежит не выше любой проведённой к нему касательной.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
(f − вогнута на (a, b)) Замеч.
(g = ( f) выпукла на (a, b)) 96
− −
( x (a, b) : g(x) = −f(x) ≥ yкас.) ( x (a, b) : f(x) ≤ yкас.)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ВЫПУКЛОСТЬ (ВОГНУТОСТЬ) ФУНКЦИИ 
Нажмите кнопку tangent line (касательная). По графику функции выделите интервалы вогнутости и выпуклости функции.
Нажмите на кнопку first derivative (первая производная). На рисунке появится график первой производной. Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Проследите как связаны интервалы выпуклости и вогнутости функции с поведением первой производной функции.
Нажмите на кнопки first derivative и second derivative (вторая производная). На рисунке исчезнет график первой производной и появится график второй производной. Протащите снова мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Проследите как связаны интервалы выпуклости и вогнутости функции с знаком второй производной функции.
Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 119. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции
x4
f(x) = x3 − 2.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
x3−2
x4
x3−2
x4
Шаг 1.
x3−2
x4
Пример 119 Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции
x4
f(x) = x3 − 2.
Решение.
Функция f(x) = – элементарная функция и не ука-
зана область определения этой функции. Согласно соглашению о области определения элементарных функций (см. раздел 3.7),
функция f(x) = определена в естественной области определе-
ния – dom f. Причём, в силу теоремы 66 о непрерывности элемен-
тарных функций, функция f(x) = непрерывна на dom f.
Найдите dom f и перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 119 Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции
x4
f(x) = x3 − 2.
Решение. √ Шаг 1. dom f = R \ { 3 2}.
√
dom f = R \ { 3 2}, так как по формуле, зада-
ющей функцию f, можно вычислить значение
√
функции для любого x R, кроме x = 3 2.
Шаг 2. Найдите производную f0 функции f. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 119 Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 2 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Шаг 1. |
|
|
|
|
|
√3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Шаг 2. x |
|
|
dom f = R \ {3 |
3 |
} |
|
|
|
dom f : f |
0 |
(x) = x |
(x |
−8). |
|
|
|
|
|
|
(x3 |
2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
f |
0(x) = |
4x3(x3 − 2) − 3x2x4 |
= |
|
|
|
(x3 − 2)2 |
|
|
|
|
|
|
= |
4x6 − 8x3 − 3x6 |
= |
x6 − 8x3 |
. |
|
|
(x3 − 2)2 |
|
|
(x3 − 2)2 |
Шаг 3. Найдите производную f00 функции f. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 119 Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции
x4
f(x) = x3 − 2.
√
Решение. Шаг 1. dom f = R \ { 3 2}.
Шаг 2. x |
|
dom f |
|
: f |
(x) = x3(x3−8). |
|
|
|
|
0 |
|
(x3 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
Шаг 3. x dom f |
|
: f00(x) = |
12x2(x3+4) |
|
|
|
(x3−2)3 . |
|
|
|
|
|
f00(x) = |
|
(6x5 − 24x2)(x3 − 2)2 − 2(x3 − 2)3x2 |
= |
|
|
|
|
|
|
(x3 − 2)4 |
|
|
|
|
= |
6x8 − 12x5 − 24x5 + 48x2 − 6x8 + 48x5 |
= |
12x5 + 48x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
(x3 − 2)3 |
|
|
(x3 − 2)3 |
|
|
Шаг 4. Найдите нули функции f00. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 119 Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
x4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 2 |
|
|
|
|
Решение. Шаг 1. |
|
|
|
|
√3 |
|
. |
|
|
|
|
2 |
Шаг 2. |
x |
|
|
|
dom f = R \ {3 |
|
|
|
3 |
} |
|
dom f |
: f |
(x) = x |
(x |
−8). |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(x3 |
|
|
|
2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
Шаг 3. x dom f |
: f00(x) = |
12x2(x3+4) |
|
(x3−2)3 . |
Шаг 4. x1 = −√3 |
|
, x2 = 0 – нули функции f00. |
4 |
|
f00(x) = 0! 12x |
(x |
3 |
|
+ 4) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Шаг 5. Найдите интервалы монотонности функции f0.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 119 Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Шаг 1. dom f = R \ {3 32}. |
|
|
|
|
|
Шаг 2. x dom f |
: f0(x) = |
x (x −8) |
|
|
|
|
|
(x3−2)2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 3. x dom f |
: f00(x) = |
12x2(x3+4) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(x3−2)3 |
|
|
|
|
|
Шаг 4. x |
|
|
√3 |
|
|
|
= 0 – нули функции f00. |
|
|
1 |
= |
4, x |
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Шаг 5. |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) – интервалы |
|
, |
|
√4), |
− |
√4, 0 , 0, √2 |
, (√2, + |
∞ |
|
|
−∞ − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
монотонности функции f0. |
|
Интервалы (−∞, −√3 |
4), −√3 |
|
, 0 , 0, √3 |
|
, (√3 |
|
, +∞) являются под- |
|
|
|
4 |
2 |
2 |
|
|
|
множествами |
dom f00 и, следовательно, элементарная функция |
|
|
|
f00(x) = |
12x2(x3+4) |
непрерывна на этих интервалах. Так как точки, в |
|
|
|
(x3−2)3 |
|
|
|
|
|
которых f00(x) = 0, не принадлежат этим интервалам, то функция |
|
|
|
f00 знакопостоянна на каждом из этих интервалов. |
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 6. Определите знак функции f00 на каждом интервале моно- |
|
|
|
тонности функции f0. |
|
|
|
Перейдите на следующую страницу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
