п.4. Вогнутые функции.
Определение 149. Функция f : (a, b) → R называется вогнутой на интервале (a, b), если для любых точек x1, x2 (a, b) и любого числа λ (0, 1) выполняется неравенство
f (λx1 + (1 − λ)x2) ≥ λf(x1) + (1 − λ)f(x2).
Если при x1 6= x2 это неравенство является строгим, то функция называется строго вогнутой на интервале (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание. Очевидно, что, если функция f выпукла (вогнута) на (a, b), то функция g = −f вогнута (выпукла) на (a, b). Это простое замечание позволит нам получить свойства вогнутой функции f из соответствующих свойств выпуклой функции g = −f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 97. Для того чтобы функция
f : (a, b) → R
дифференцируемая на интервале (a, b) была вогнутой на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы её производная f0 была невозрастающей функцией на (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
(f − вогнута на (a, b)) Замеч.
(g = ( f) выпукла на (a, b)) 92
− − g0 − неубывающая на (a, b)!
f0 − невозрастающая на (a, b)!
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 98. Для того чтобы функция
f : (a, b) → R,
имеющая вторую производную на (a, b), была вогнутой на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы
x (a, b) : f00(x) ≤ 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
(f − вогнута на (a, b)) Замеч.
(g = ( f) выпукла на (a, b)) 93
− −x (a, b) : g00(x) ≥ 0!
x (a, b) : f00(x) ≤ 0!
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 99. Пусть f : (a, b) → R дифференцируемая на интервале (a, b). Если её производная f0 : (a, b) → R убывает на (a, b), то функция f строго вогнута на (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
f0 − убывает на (a, b)!
g0 |
|
− |
f0) |
− |
возрастает на (a, b)! |
94 |
= ( |
|
|
|
= |
(g = (−f) − строго выпукла на (a, b)) Замеч. (f − строго вогнута на (a, b))
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 100. Пусть f : (a, b) → R имеет
вторую производную на интервале (a, b). Если x (a, b) : f00(x) < 0, то функция f
строго вогнута на (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. |
|
|
|
|
x |
(a, b) : f00(x) < 0! |
|
|
|
|
|
(a, b) : g00(x) = |
> 0! |
95 |
x |
− |
f00(x)! |
= |
|
|
|
|
|
(g = (−f) − строго выпукла на (a, b)) Замеч. (f − строго вогнута на (a, b))
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
