Достаточность. Фиксируем три точки x,x1,x2 x1 < x < x2. По теореме Лагранжа
f(x)−f(x1) = f0(ξ1), x1 < ξ1 < x
x−x1
x < ξ2 < x2, f0(ξ2) = f(x2)−f(x)
x2−x
Так как f0 : (a,b) −→ R неубывающая функция на (a,b), то из (5.35) следует, что ξ1 < ξ2 и f0(ξ1) ≤ f0(ξ2), т.е.
f(x) − f(x1) |
≤ |
f(x2) − f(x) |
. |
x − x1 |
x2 − x |
Из выделенного синим цветом, в силу определения 148, получаем, что f выпукла на (a,b). 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 93. Пусть f : (a, b) −→ R дважды дифференцируема на (a, b). Для того чтобы
f была выпуклой на (a, b) необходимо и достаточно чтобы x (a, b) : f00(x) ≥ 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
|
|
92 |
|
|
|
(f − выпукла на (a, b)) |
|
|
|
f0 |
− |
неубывает на (a, b)! |
87 |
|
|
|
x |
|
|
|
0! |
|
|
(a, b) : f00(x) |
≥ |
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 94. Пусть f : (a, b) → R дифференцируемая на интервале (a, b). Если её производная f0 : (a, b) → R возрастает на (a, b), то функция f строго выпукла на (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Фиксируем три точки |
x,x1,x2 (a,b), |
x1 < x < x2. По теореме Лагранжа |
|
|
f(x)−f(x1) = f0(ξ1), x1 < ξ1 |
< x |
(5.36) |
x−x1 |
|
x < ξ2 < x2, f0(ξ2) = f(x2)−f(x) |
|
x2−x |
|
Так как f0 : (a,b) −→ R возрастающая функция на (a,b), то из (5.36) следует, что ξ1 < ξ2 и f0(ξ1) < f0(ξ2), т.е.
f(x) − f(x1) < f(x2) − f(x). |
x − x1 |
x2 − x |
Из выделенного синим цветом, в силу опр. 148, получаем, что функция f строго выпукла на (a,b). 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 95. Пусть f : (a, b) → R имеет вто-
рую производную на интервале (a, b). Еслиx (a, b) : f00(x) > 0 , то функция f строго
выпукла на (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. |
|
|
x |
(a, b) : f00(x) > 0! |
88 |
|
|
f0 |
|
|
|
|
|
− |
возрастает на (a, b)! |
94 |
|
|
|
|
|
(f − строго выпукла на (a, b))
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 96. Дважды дифференцируемая на (a, b) функция f : (a, b) → R выпукла на (a, b) тогда и только тогда, когда график функции всеми своими точками лежит не ниже любой проведённой к нему касательной.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Фиксируем произвольную точку x0 (a,b). Уравнение касательной к graff в точке (x0,f(x0)) имеет вид [см. уравнение (5.6)]
K : yкас. = f(x0) + f0(x0)(x − x0) |
(5.37) |
По формуле Тейлора [см. следствие 85.2] с остаточным членом в форме Лагранжа для всех x (a,b)
f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + |
f00(ξ) |
(x − x0)2 |
(5.37) |
|
|
= |
2! |
|
|
f00(ξ) |
|
2 |
|
где ξ (a,b). |
= yкас. + |
|
(x − x0) |
, |
2! |
(5.38)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда
|
|
93 |
|
(f − выпукла на (a, b)) |
0! (5.38) |
ξ |
(a, b) : f |
00(ξ) |
≥ |
|
|
|
|
( x (a, b) : f(x) ≥ yкас.)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
