Подставляя в последнее уравнение
x = xλ = λx1 + (1 − λ)x2 = x2 − λ(x2 − x1),
получим
yλ = f(x1)+
+ (f(x2) − f(x1)) x2 − λ(x2 − x1) − x1 = x2 − x1
=f(x1) + (f(x2) − f(x1)) (1 − λ) =
=λf(x1) + (1 − λ)f(x2).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Геометрически условие выпуклости функции f : (a, b) → R означает, что точки любой дуги графика функции лежат под хордой стягивающей эту дугу (см. рис. 5.16).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
y |
|
|
|
E |
|
0 |
a |
b x |
|
Рис. 5.17 График выпуклой функции |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Другая интерпретация:
множество E = ((x, y) R2|x (a, b), f(x) < y)
точек плоскости, лежащих над графиком функции, является выпуклым, откуда и сам термин “выпуклая” функция (см. рис. 5.17).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
п.2. Эквивалентное определение выпуклой функции.
Фиксируем произвольные
x1, x2 (a, b), x1 < x2 и x (x1, x2).
Тогда точке x соответствует λx такое, что
x = λxx1 + (1 − λx)x2.
Найдём λx.
(x = x2 − (x2 − x1)λx) = |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− |
x |
|
x |
− |
x1 |
λx = |
|
|
|
|
, 1 λx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− |
x |
1 |
|
x |
2 |
− |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда неравенство (5.32) можно переписать так
|
≤ |
x2 |
|
x |
|
x |
|
x1 |
|
|
|
x |
− |
x |
|
x |
|
− |
x |
|
f(x) |
|
|
|
f(x1) + |
|
|
f(x2) |
|
|
|
2 − 1 |
|
|
2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
((x2 − x1)f(x) ≤ (x2 − x)f(x1) + (x − x1)f(x2))
(((x2 − x) + (x − x1)) f(x) ≤ (x2 − x)f(x1) + (x − x1)f(x2)) ((f(x) − f(x1)) (x2 − x) ≤ (f(x2) − f(x)) (x − x1))
|
|
− |
f(x1) |
|
f(x2) |
− |
|
|
f(x) |
|
≤ |
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
x |
1 |
x |
2 |
− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 148. Функция f : (a, b) → R называется выпуклой на интервале (a, b), если
для любых точек x1, x2 (a, b), x1 < x2 и любого x (x1, x2) выполняется неравенство
f(x) − f(x1) |
≤ |
f(x2) − f(x) |
. |
(5.33) |
x − x1 |
x2 − x |
|
Если это неравенство является строгим, то функция называется строго выпуклой на интервале (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
п.3. Условия выпуклости дифференцируемых функций.
Теорема 92. Пусть f : (a, b) −→ R дифференцируема на (a, b). Для того чтобы f была выпуклой на (a, b) необходимо и достаточно чтобы f0 : (a, b) −→ R была неубывающей функцией на (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Необходимость. Фиксируем произвольные x1, x2 (a, b), x1 < x2. Тогда, в силу определения 148, для любого x (x1, x2) выполняется неравенство
f(x) − f(x1) |
≤ |
f(x2) − f(x) |
. |
|
(5.34) |
x − x1 |
|
x2 − x |
|
|
|
|
|
Перейдём к пределу в (5.34) при x → x1 |
|
f |
(x |
) |
≤ |
|
f(x2)−f(x1) |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
x2 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
и при x |
→ |
x |
2 |
|
f(x2)−f(x1) |
≤ |
f |
(x |
) |
|
|
|
|
x2−x1 |
0 |
2 |
|
Из выделенного синим цветом следует, что f0 неубывающая функция на (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
