Пример 117 Найти точки экстремума функции
f(x) = x2e−x2.
Построить эскиз графика функции f.
Решение.
Шаг 1. dom f = R. Шаг 2. f0(x) = 2x(1 − x2)e−x2.
Шаг 3. x0 = 0, x1 = −1, x2 = 1 – точки стационарности функции f.
Шаг 4. f00(x) = 2 |
1 − 5x2 + 2x4 e−x2. |
|
|
f00(x) = 2 (x − x3)e−x2!0 |
= |
2 (1 − 3x2)e−x2 + (x − x3)e−x2(−2x)! = |
|
2 1 − 3x2 − 2x2 + 2x4 e−x2. |
|
|
Шаг 5. Найдите точки экстремума функции f. |
|
Перейдите на следующую страницу. |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 117 Найти точки экстремума функции f(x) = x2e−x2.
Построить эскиз графика функции f.
Решение. Шаг 1. dom f = R. Шаг 2. f0(x) = 2x(1 − x2)e−x2.
Шаг 3. x0 = 0, x1 = −1, x2 = 1 – точки стационарности функции f.
Шаг 4. f00(x) = 2 1 − 5x2 + 2x4 e−x2.
Шаг 5. x0 = 0 – точка строгого минимума, x2,3 = 1 – точки строгого максимума.
Вычисляем f00 в точках стационарности функции f : f00(0) = 2 > 0, f00(−1) = f00(1) = − 4e < 0.
К каждой точке стационарности функции f применим следствие 91.1.
Ответ: x0 = 0 – точка строгого минимума, x2,3 = 1 – точки строгого максимума. График функции см. на рис. 5.15.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.8.5. О наибольшем и наименьшем значениях функции.
Пусть f : [a, b] → R непрерывна на [a, b]. Тогда, в силу второй теоремы Вейерштрасса [см. теорему 62], функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Точки, в которых достигаются эти значения, могут быть как внутренними точками интервала (a, b), так и граничными.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Алгоритм для их отыскания следующий:
1.Находим все подозрительные на экстремум точки, лежащие на интервале (a, b).
2.Вычисляем значения функции во всех подозрительных на экстремум точках и сравни-
ваем их с граничными значениями f(a) и f(b);
наибольшее и наименьшее из этих чисел и будут наибольшим и наименьшим значением
функции на [a, b].
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
Иллюстрация показывает, что наибольшее и наименьшее значения значения функции могут достигаться только в точках экстремума функции или в граничных точках сегмента определения функции.
Границы сегмента определения задаются движками "left boundary" и "right boundary".
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 118. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = x2 + 16x − 16
на [1, 4].
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Так как [1, 4] domf = R \ {0} и f дифференцируема на domf, то точки подозрительные на экстремум функции f совпадают с точками стационарности функции f. Находим точки стационарности функции f, решая
|
f0(x) = 2x − x2 = |
x2 |
= 0. |
уравнение |
16 |
2(x3−8) |
|
Решением |
последнего уравнения |
является |
x1 = 2 [1, 4]. Вычислим, далее, |
|
f(1) = 1, f(2) = −4, f(4) = 4.
Сравнивая найденные значения, видим, что
наибольшее значение достигается в точке x2 = 4 и равно 4, а наименьшее - в точке x1 = 2 и
равно (−4).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.8.6. Условия выпуклости функции.
Определение 147. Функция f : (a, b) → R называется выпуклой на интервале (a, b), если для любых точек x1, x2 (a, b) и любого числа
λ(0, 1) выполняется неравенство
f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf(x1) + (1 − λ)f(x2).
(5.32) Если при x1 6= x2 это неравенство является строгим, то функция называется строго выпуклой на интервале (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
п.1. Геометрический смысл определения выпуклой функции.
Фиксируем произвольные x1, x2 (a, b), x1 < x2 и λ (0, 1). Обозначим
xλ = λx1 + (1 − λ)x2 = x2 − λ(x2 − x1) (x1, x2).
Пусть A (x1, f(x1)) , B (x2, f(x2)) graff и Ï прямая проходящая через эти точки. Запишем каноническое
уравнение прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ï : |
x − x1 |
= |
|
|
y − f(x1) |
|
или |
x2 − x1 |
f(x2) − f(x1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x1 |
|
Ï : y = f(x |
) + (f(x |
) |
− |
f(x |
)) |
|
. |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
x2 − x1 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
