√ √
Пример 116 Для функции f(x) = 3 x2 − 3 x2 − 1 найти: 4. точки экстремума функции f.
Решение. Шаг 1. dom f = R.
Шаг 2. Ответ на 1. Функция f непрерывна на dom f = R и точек разрыва функция не имеет.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
− 3√ |
|
|
|
|
|
|
(x2−1)2 |
Шаг 3. x R \ {−1, 0, 1} |
|
2 |
|
x4 |
: f0(x) = |
3 |
· |
|
√3 |
|
|
. |
|
x·(x2−1)2 |
Шаг 4. Отнесём точки x0 = 0, x1 = −1, x2 = 1 к точкам подозрительным на экстремум.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 5. x3 = |
− |
1 |
1 |
– точки стационарности функции f. |
√ |
|
, x4 = √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Ответ на 2. x1 = −1, x3 = −√ |
|
, x0 = 0, x4 = |
√ |
|
, |
|
2 |
2 |
x2 = 1 – точки подозрительные на экстремум. |
Шаг 6. Ответ на 3. (−∞, −1), −1, −√1 |
|
, −√1 |
|
, 0 , |
2 |
2 |
0, √1 |
|
, √1 |
|
, 1 , (1, ∞) – интервалы монотонности функции f. |
2 |
2 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
√ √
Пример 116 Для функции f(x) = 3 x2 − 3 x2 − 1 найти: 4. точки экстремума функции f.
Нарисуйте эскиз графика функции f. Решение. Шаг 1. dom f = R.
Шаг 2. Ответ на 1. Функция f непрерывна на dom f = R и точек
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разрыва функция не имеет. |
|
|
√3 |
|
|
− 3√ |
|
|
|
|
|
(x2−1)2 |
|
|
Шаг 3. x R \ {−1, 0, 1} : f0(x) = |
2 |
|
x4 |
3 |
· |
|
√3 |
|
|
. |
|
x·(x2−1)2 |
Шаг 4. Отнесём точки x0 = 0, x1 = −1, x2 = 1 к точкам подозрительным на экстремум.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 5. x3 = |
− |
1 |
1 |
– точки стационарности функции f. |
√ |
|
, x4 = √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Ответ на 2. x1 = −1, x3 = −√ |
|
, x0 = 0, x4 = |
√ |
|
, |
|
2 |
2 |
x2 = 1 – точки подозрительные на экстремум. |
Шаг 6. Ответ на 3. (−∞, −1), −1, −√1 |
|
, −√1 |
|
, 0 , |
2 |
2 |
0, √1 |
|
, √1 |
|
, 1 , (1, ∞) – интервалы монотонности функции f. |
2 |
2 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Шаг
нет,
x3,4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 7. |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
+ |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 − |
|
|
|
1 |
|
√ |
|
0 |
|
√ |
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
8. В точках x1,2 = 1 экстремума
= 1 – точки строгого максимума и
√2
x0 = 0 – точка строгого минимума. Исследование каждой подозрительной на
экстремум точки функции f проведём по теореме 90.
Шаг 9. Посмотрите график функции f (см. рис. 5.14).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
y
2
1
|
1 |
|
1 |
|
|
−2 |
−√2 |
|
√2 |
|
x |
−1 |
0 |
1 |
2 |
Рис. 5.14 График функции f(x) = |
√3 x2 − √3 x2 − 1 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 117. Найти точки экстремума функ-
ции
f(x) = x2e−x2.
Построить эскиз графика функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение.
Шаг 1. Функция f(x) = x2e−x2 – элементарная функция и не указана область определения этой функции. Согласно соглашению о области определения элементарных функций (см. раздел 3.7), функция f(x) = x2e−x2 определена в естественной области определения – dom f. Причём, в силу теоремы 66 о непрерывности элементарных функций, функция f(x) = x2e−x2 непрерывна на dom f.
Найдите dom f и перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 117 Найти точки экстремума функ-
ции
f(x) = x2e−x2.
Построить эскиз графика функции f.
Решение.
Шаг 1. dom f = R.
dom f = R, так как по формуле, задающей функцию f, можно вычислить значение функции для любого x R.
Шаг 2. Найдите производную f0 функции f. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 117 Найти точки экстремума функ-
ции
f(x) = x2e−x2.
Построить эскиз графика функции f.
Решение.
Шаг 1. dom f = R.
Шаг 2. f0(x) = 2x(1 − x2)e−x2. f0(x) = 2xe−x2 − x2e−x22x
Шаг 3. Найдите точки подозрительные на экстремум функции f.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 117 Найти точки экстремума функции
f(x) = x2e−x2.
Построить эскиз графика функции f. Решение.
Шаг 1. dom f = R.
Шаг 2. f0(x) = 2x(1 − x2)e−x2.
Шаг 3. x0 = 0, x1 = −1, x2 = 1 – точки стационар-
ности функции f. dom f0 = R.
Из условия f0(x) = 2x(1 − x2)e−x2 = 0 находим три точки стационарности функции f.
Шаг 4. Найдите f00 функции f. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
