Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Прямая линия – касательная к графику функции в точке отмеченной красным маркером. По графику функции выделите точки экстремума функции.
Нажмите на кнопку second derivative (вторая производная). На рисунке появится график второй производной. Протащите снова мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Обратите внимание на значения второй производной в точках максимума и минимума функции.
Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 116. Для функции
√
3 s
f(x) = x2 − 3 x2 − 1
найти:
1.точки разрыва функции f определить их тип;
2.точки подозрительные на экстремум функции f;
3.интервалы монотонности функции f;
4.точки экстремума функции f.
Построить эскиз графика функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 116 Для функции
√
3 s
f(x) = x2 − 3 x2 − 1
найти:
1. точки разрыва функции f определить их тип;
Решение.
Шаг 1. dom f = R.
dom f = R, так как по формуле, задающей функцию f, можно вычислить значение функции для любого x R.
Шаг 2. Найдите конечные предельные точки множества dom f = R не принадлежащие этому множеству.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 116 Для функции
√
3 s
f(x) = x2 − 3 x2 − 1
найти:
1.точки разрыва функции f определить их тип;
2.точки подозрительные на экстремум функции f. Решение.
Шаг 1. dom f = R. |
√3 x2 − 3√x2 − 1 |
Шаг 2. Ответ на 1. Функция f(x) = |
непрерывна на dom f = R и точек разрыва функция
не имеет.
Конечных предельных точек множества dom f = R не принадлежащих этому множеству нет.
Шаг 3. Найдите производную функции f(x) =
√3 x2 − 3√x2 − 1.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 116 Для функции
√ √
f(x) = 3 x2 − 3 x2 − 1
найти:
2. точки подозрительные на экстремум функции f. Решение.
Шаг 1. dom f = R.
Шаг 2. Ответ на 1. Функция f непрерывна на dom f = R и точек
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разрыва функция не имеет. |
|
|
√3 |
|
|
− 3√ |
|
|
|
|
|
|
|
(x2−1)2 |
|
|
Шаг 3. x R \ {−1, 0, 1} |
|
2 |
|
x4 |
: f0(x) = |
3 |
· |
|
√3 |
|
|
. |
|
x·(x2−1)2 |
x3 |
− (x2 − 1)3 !0 |
= 32 · x− 3 |
− |
31 · (x2 − 1)− 3 · 2x |
2 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
Приводим, далее, к общему знаменателю.
Шаг 4. Как быть с точками x0 = 0, x1 = −1, x2 = 1? Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 116 Для функции f(x) = √3 |
|
|
− √3 |
|
|
|
найти: |
x2 |
x2 − 1 |
|
2. точки подозрительные на экстремум функции f. |
Решение. Шаг 1. dom f = R. Шаг 2. · · · |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
√ |
(x2−1)2 |
− √ |
|
|
2 |
|
|
x4 |
Шаг 3. x R \ {−1, 0, 1} : f0(x) = 3 · |
|
|
√3 |
|
|
. |
|
|
x·(x2−1)2 |
Шаг 4. Отнесём точки x0 = 0, x1 = −1, x2 = 1 к точкам подозрительным на экстремум.
В точках x0 = 0, x1 = −1, x2 = 1 производную функции f нужно находить по определению производной. Но для решения поставленной задачи знание производных функции f в этих точках не обязательно. Нам нужно исследовать поведение производной функции f в проколотых окрестностях этих точек.
Шаг 5. Найдите точки стационарности функции f. Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
√ √
Пример 116 Для функции f(x) = 3 x2 − 3 x2 − 1 найти:
2.точки подозрительные на экстремум функции f;
3.интервалы монотонности функции f.
Решение. Шаг 1. dom f = R. Шаг 2. · · · |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
(x2 |
−1)2 |
− √ |
|
|
Шаг 3. x R \ {−1, 0, 1} |
|
2 |
|
|
x4 |
: f0(x) = |
3 |
· |
|
|
√3 |
|
|
. |
|
|
x·(x2−1)2 |
Шаг 4. Отнесём точки x0 = 0, x1 = −1, x2 = 1 к точкам подозрительным на экстремум.
1 |
|
1 |
|
Шаг 5. x3 = −√ |
|
, x4 |
= √ |
|
– точки стационарности функции f. |
2 |
2 |
Находим точки стационарности функции f из условия f0(x) = 0,
r √
следовательно 3 (x2 − 1)2 = 3 x4, или (x2−1)2 = x4, x4−2x2+1 = x4.
Шаг 6. Найдите интервалы монотонности функции f.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
√ √
Пример 116 Для функции f(x) = 3 x2 − 3 x2 − 1 найти: 3. интервалы монотонности функции f.
Решение. Шаг 1. dom f = R.
Шаг 2. Ответ на 1. Функция f непрерывна на dom f = R и точек разрыва функция не имеет.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
− 3√ |
|
|
|
|
|
|
(x2−1)2 |
Шаг 3. x R \ {−1, 0, 1} |
|
2 |
|
x4 |
: f0(x) = |
3 |
· |
|
√3 |
|
|
. |
|
x·(x2−1)2 |
Шаг 4. Отнесём точки x0 = 0, x1 = −1, x2 = 1 к точкам подозрительным на экстремум.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 5. x3 |
|
− |
1 |
|
|
1 |
– точки стационарности функции f. |
|
= |
√ |
|
|
, x4 |
= √ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Ответ на 2. |
x1 = −1, x3 = −√ |
|
, x0 |
= 0, x4 = √ |
|
, x2 = 1 |
– точки |
2 |
2 |
подозрительные на экстремум. |
−1, −√1 |
|
, |
−√1 |
|
, 0 , |
0, √1 |
|
, |
Шаг 6. |
Ответ |
на |
3. |
|
(−∞, −1), |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
√
1 , 1 , (1, ∞) – интервалы монотонности функции f.
2
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Интервалы (−∞, −1), |
−1, −√1 |
|
, |
−√1 |
|
|
, 0 , |
0, √1 |
|
|
, |
√1 |
|
, 1 , (1, ∞) |
2 |
2 |
2 |
2 |
являются подмножествами dom f0 и, следовательно, элементарная |
функция |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
√x4 |
|
|
|
|
f0(x) = 2 |
|
− |
|
|
|
|
(x2 − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x · (x2 − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна на этих интервалах. Так как точки, в которых f0(x) = 0, не принадлежат этим интервалам, то функция f0 сохраняет знак на каждом из этих интервалов.
Шаг 7. Определите знак функции f0 на каждом интервале монотонности функции f.
Перейдите на следующую страницу.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
