mathanaliz

3. При переходе через точку x0 производная f0 не меняет знака.

Тогда

(x0 − не является точкой экстремума )

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Аналогично

(x0 − не является точкой экстремума )

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Прямая линия

– касательная к графику функции в точке отмеченной красным маркером. По графику функции выделите точки экстремума функции. Нажмите на кнопку first derivative (первая производная). На рисунке появится график первой производной. Протащите снова мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Проследите как меняется знак производной при переходе через точки экстремума функции.

Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание. Условия теоремы 90, являясь достаточными, не являются необходимыми для экстремума функции.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 91. Пусть функция

f : A → R, A R,

во внутренней точке x0 A имеет непрерывные производные до порядка n включи-

тельно (n ≥ 1).

Если f0(x0) = f00(x0) = · · · = f(n−1)(x0) = 0 и f(n)(x0) 6= 0, то

при n нечётном в x0 экстремума нет,

а при n чётном в x0 экстремум есть, причём это

строгий минимум, если f(n)(x0) > 0, и строгий максимум, если f(n)(x0) < 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа [см. следствие 85.2], представим функцию f в некоторой Uε(x0) в виде:

где ξ лежит между x и x0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Учитывая условия доказываемой теоремы 91, получим x Uε(x0):

f(x) − f(x0) = f(n)(ξ)(x − x0)n, ξ Uε(x0). n!

(5.31) Так как f(n) : Uε(x0) −→ R непрерывна в точке x0 и f(n)(x0) 6= 0, то существует

Uδ(x0) Uε(x0),

в которой f(n)(x) сохраняет знак [см. Лемму 8].

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Если n – чётное число, то

x Uδ (x0) : (x − x0)n > 0

и, в силу (5.31), разность f(x) − f(x0) сохраняет знак в Uδ (x0), т.е. в точке x0 функция f имеет строгий экстремум. Кроме того,

если f(n)(x0) > 0, то f(x) − f(x0) > 0, т.е. x0 – точка строгого минимума функции f,

если же f(n)(x0) < 0, то f(x) − f(x0) < 0 и в точке x0 функция f имеет строгий максимум.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Если n – нечётное число, то

x Uδ (x0) , x < x0 : (x − x0)n < 0

и

x Uδ (x0) , x > x0 : (x − x0)n > 0.

Следовательно, в силу (5.31), разность f(x) − f(x0) не сохраняет знак в Uδ (x0), т.е. в точке x0 функция f не имеет экстремума.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следствие 91.1. Пусть функция

f : A → R, A R

во внутренней точке x0 A имеет непрерывные производные до второго порядка

включительно.

Если f0(x0) = 0 и f00(x0) 6= 0, то

x0 является точкой экстремума функции f, причём это

строгий минимум, если f00(x0) > 0 и строгий максимум, если f00(x0) < 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit