Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Прямая линия – касательная к графику функции в точке отмеченной красным маркером. По графику функции выделите точки экстремума функции.
Нажмите на кнопку first derivative (первая производная). На рисунке появится график первой производной. Протащите снова мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Проследите за положением касательной в точках экстремума функции
Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Из теоремы 89 следует, что точка экстремума функции f является либо её стационарной точкой либо в этой точке производная функции f не существует или равна ∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 143. Внутренняя точка x0 A
называется подозрительной на экстремум
функции f, если:
1.x0 A стационарная точка функции f или
2.производная функции f не существует или
3.производная функции f равна ∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.8.4.2. Достаточное условие экстремума функции.
Пусть задана функция f : A → R, A R и x0 - внутренняя точка множества A.
Определение 144. Говорят, что функция f меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку x0, если существует Uε(x0) та-
кая, что x A−(x0) ∩ Uε(x0) : f(x) < 0 и
x A+(x0) ∩ Uε(x0) : f(x) > 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 145. Говорят, что функция f меняет знак с плюса на минус при переходе через точку x0, если существует Uε(x0) та-
кая, что x A−(x0) ∩ Uε(x0) : f(x) > 0 и
x A+(x0) ∩ Uε(x0) : f(x) < 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 146. Говорят, что функция f не меняет знака при переходе через точку x0, если существует Uε(x0) такая, что
x Uε (x0) : f(x) > 0 (f(x) < 0) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 90. Пусть внутренняя точка x0 A является точкой подозрительной на экстремум
функции f : A → R, A R и существует Uε(x0) такая, что:
1.функция f непрерывна на Uε(x0);
2.функция f дифференцируема на Uε (x0).
Тогда, если при переходе через точку x0 производная f0:
1.меняет знак с плюса на минус, то x0 - точка строгого максимума функции f;
2.меняет знак с минуса на плюс, то x0 - точка строгого минимума функции f.
Если же при переходе через точку x0 производная f0 не меняет знака, то x0 не является точ- кой экстремума функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
По теореме Лагранжа имеем
x Uε (x0) : f(x) − f(x0) = f0(ξ)(x − x0),
где ξ − лежит между x и x0.
(5.30)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
(5.30)
=
1. При переходе через точку x0 производная f0 меняет знак с плюса на минус.
Тогда
x (x0 − ε, x0) : f0(x) > 0!x (x0, x0 + ε) : f0(x) < 0!
138
( x Uε (x0) : f(x) − f(x0) < 0) =
(x0 − точка строго максимума функции f)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
(5.30)
=
2. При переходе через точку x0 производная f0 меняет знак с минуса на плюс.
Тогда
x (x0 − ε, x0) : f0(x) < 0!x (x0, x0 + ε) : f0(x) > 0!
138
( x Uε (x0) : f(x) − f(x0) > 0) =
(x0 − точка строго минимума функции f)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
