Решение. Функция f - элементарная функция и не указана область определения этой функции. Согласно соглашению об области определения элементарных функций, функция f определена в естественной области определения - dom f = (0, 1) (1, +∞). Причём, в силу теоремы 66 о непрерывности элементарных функций, функция f непрерывна на domf.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Более того функция f дифференцируема на domf.
Находим f0(x) = ln x−1. Легко видеть, что
(ln x)2
f0(x) < 0 при x (0, 1) (1, e)
и
f0(x) > 0 при x (e, +∞)
(см. рис. 3.11). Следовательно, по теореме 88, функция f убывает на (0, 1) (1, e) и возрастает на (e, +∞).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Прямая линия – касательная к графику функции в точке отмеченной красным маркером. По графику функции выделите интервалы монотонности функции.
Нажмите на кнопку first derivative (первая производная). На рисунке появится график первой производной. Протащите снова мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Проследите как связаны интервалы монотонности функции с знаком первой производной функции.
Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.8.4. Экстремумы функции.
Пусть задана функция f : A → R, A R.
Определение 138. Говорят, что внутренняя точка x0 A есть точка минимума (максимума) функции f, если Uε(x0) A такая, что x Uε(x0) выполняется неравен-
ство |
f(x0) ≤ f(x) |
(f(x0) ≥ f(x)). Если же |
|
ε |
|
|
x |
U (x0) |
выполняется строгое неравен- |
ство |
f(x0) < |
f(x) |
(f(x0) > f(x)), то точка |
x0 A называется точкой строгого минимума (строгого максимума) функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 139. Внутренняя точка x0 A
называется точкой экстремума функции f, если она является точкой минимума или максимума.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение |
140. Внутренняя |
точка |
x0 A |
называется точкой |
строгого |
экстремума функции f, если она является точкой строгого минимума или строгого максимума функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 141. Значение функции f в точке минимума (максимума) называется минимумом (максимумом) функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 142. Значение функции f в точке строгого минимума (строгого максимума) называется строгим минимумом (строгим максимумом) функции f.
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ 
Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Прямая линия – касательная к графику функции в точке отмеченной красным маркером. По графику функции выделите точки максимума и минимума.
Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.8.4.1. Необходимое условие экстремума функции.
Теорема 89. Пусть задана функция
f: A → R, A R
ивнутренняя точка x0 A является точкой экстремума функции f.
Тогда, если существует f0(x0), то f0(x0) = 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Так как внутренняя точка x0 A является точкой экстремума функции f, то Uε(x0) A такая, что x Uε(x0):
разность f(x) − f(x0) сохраняет знак.
Определим вспомогательную функцию g : Uε(x0) → R следующим образом
x Uε(x0) : g(x) = f(x). Тогда функция g достигает своего наибольшего или наименьшего
значения во внутренней точке x0 своей области определения и существует g0(x0) = f0(x0).
По теореме Ферма´ g0(x0) = 0 и, следовательно, f0(x0) = 0. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
