Доказательство. Необходимость |
условия |
оче- |
видна: |
|
|
|
|
|
|
( x (a, b) : f(x) = const) = |
(a, b) : f0(x) = 0! . |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Достаточность. Фиксируем |
|
две |
произвольные |
точки x1, x [a, b]. |
По теореме Лагранжа |
|
f(x) − f(x1) = f0(ξ)(x − x1), ξ (a, b). |
(5.27) |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
x |
|
5.27) |
|
|
|
|
(a, b) : f0(x) = 0! (= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f(x) = f(x1) = const.)
Из выделенного синим цветом следуют достаточность. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следствие 86.1. Пусть f, g : [a, b] → R непре-
рывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Если x (a, b) : f0(x) = g0(x), то
x (a, b) : f(x) = g(x) + C (C = const).
Для доказательства достаточно применить теорему 86 к разности f − g.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 87. Пусть f : [a, b] → R непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Для того чтобы функция f была неубывающей [невозрастающей] на [a, b] необходимо и достаточно чтобы
x (a, b) : f0(x) ≥ 0 [f0(x) ≤ 0].
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Необходимость. |
|
|
|
|
Фиксируем произвольную точку x0 |
(a, b). |
Точке x0 придадим приращение |
|
|
x так, чтобы |
x0 + |
x (a, b). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
− |
неубывающая [невозрастающая] на [a, b] |
135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
f |
(x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x0, x) |
≥ |
0 [ |
≤ |
0] |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
f |
(x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f(x0, |
|
x) |
|
|
0 [ |
|
|
|
f0(x0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ |
|
≤ |
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выделенного синим цветом следует необходимость.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Достаточность. Фиксируем две произвольные точки x1, x2 [a, b], x1 < x2. По теореме Лагранжа
f(x2) − f(x1) = f0(ξ)(x2 − x1), x1 < ξ < x2.
(5.28)
Тогда
|
x |
(a, b) : f0(x) |
|
5.28) |
(f(x |
) |
|
f(x |
)) |
|
≥ |
0! (= |
≤ |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
x |
(a, b) : f0(x) |
|
5.28) |
(f(x |
) |
|
f(x |
)) |
|
≤ |
0! (= |
≥ |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
Из выделенного синим цветом следуют достаточность. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 88. Пусть f : [a, b] → R непрерывна
на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Если
x (a, b) : f0(x) > 0 [f0(x) < 0], то функция f возрастающая [убывающая] на [a, b].
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Фиксируем две произвольные точки x1, x2 [a, b], x1 < x2. По теореме Лагранжа
f(x2) − f(x1) = f0(ξ)(x2 − x1), x1 < ξ < x2.
(5.29)
Тогда
|
x |
|
(a, b) : f |
|
5.29) |
(f(x |
) < f(x |
)) |
|
|
0(x) > 0! (= |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
x |
|
(a, b) : f |
0(x) < 0! |
(5.29) |
(f(x |
) > f(x |
)) |
= |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
Из выделенного синим цветом следуют утверждения теоремы. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 137. Интервалы, на которых функция возрастает [неубывает, невозрастает, убывает], называются интервалами монотонности функции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Если производная функции f непрерывна на (a, b), то разделять интервалы монотонности
могут лишь точки, в которых f0(x) = 0, так как перемена знака непрерывной функции возможна лишь при переходе её через нуль
[см. теорему 61]. Точка, в которой f0(x) = 0,
называется точкой стационарности функ-
ции f. Заметим, что не каждая точка стационарности разделяет интервалы монотонности.
Если же не требовать непрерывности произ-
водной функции f, то интервалы монотонности могут разделять не только точки стацио-
нарности. Например, для функции f(x) = |x| точка x0 = 0 разделяет интервалы монотон-
ности, но точка не является точкой стационарности, так как в этой точке производная
функции f не существует.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 115. Найти интервалы монотонности функции f(x) = lnxx.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
