Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mathanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

9.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104105 / 151105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 > Следующая >>>

Тогда

1. функции F, ϕ непрерывны на I





(условия теоремы 85 и 57)
	F, ϕ			I	81
	F, ϕ			I	81

2.					=
функции		дифференцируемы во внутренних точках



		(условия теоремы 85 и 73)
		(условия теоремы 85 и 73)
ϕ0(t) = 0			I

3.
3.
6	для всех внутренних точек
	для всех внутренних точек






(условия теоремы 85)

ξ между x	0	и x, в которой	F (x)	− F (x0)		=	F 0(ξ)
			ϕ(x)					ϕ0(ξ)
				−	ϕ(x0)

							(5.23)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Вычислим

F 0(t) =

(t) +

f00(t)

−

f0(t)

−

f000(t)

f00(t)

(x − t)2 −

(x − t) + · · ·

· · ·

f(n+1)(t)

−

t)n

−

f(n)(t)

−

t)(n−1)

1)!

−

= −	f(n+1)(t)	(x − t)n	(5.24)
	n!
и
F (x) − F (x0) = 0 − F (x0) = −rn(x : x0).			(5.25)
Подставляя (5.24) и (5.25) в (5.23), получим (5.22).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следствие 85.1. Пусть ϕ(t) = (x − t)p, где p > 0. Очевидно, эта функция удовлетворяет условиям теоремы 85. Поэтому

r	(x; x	) =	−(x − x0)p	f(n+1)(ξ) (x			−	ξ)n =
n	0		−p(x − ξ)(p−1)n!				−
					f(n+1)(ξ)					− ξ)(n+1−p)(x − x0)p.
				=					(x
				=		n!p			(x

Так как ξ = x0 + θ(x − x0), 0 < θ < 1, то

x− ξ = x − x0 − θ(x − x0) = (1 − θ)(x − x0). Тогда rn(x; x0) =

=f(n+1)(x0 + θ(x − x0))(1 − θ)(n+1−p)(x − x0)(n+1),

n!p

0 < θ < 1. (5.26)

Выражение (5.26) называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Шлемильха и Роша.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следствие 85.2. Полагая в формуле (5.26) p = n + 1, получим остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа:

f(n+1)(ξ)

rn(x; x0) = (n + 1)! (x − x0)(n+1),

где ξ лежит между x и x0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следствие 85.3. Полагая в формуле (5.26) p = 1, получим остаточный член формулы Тейлора в форме Коши´:

rn(x; x0) =

= f(n+1)(x0 + θ(x − x0))(1 − θ)n(x − x0)(n+1), n!

0 < θ < 1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание 1. При x0 = 0 формула Тейлора называется формулой Маклорена. Важнейшими разложениями по формуле Маклорена являются:

ex = 1 + x +

+ · · · +

+ o(xn)

((ex)(n) = ex,

см. пример 102);

sin x = x

−

· · ·

(−1)n−1

x2n−1 + o x2n−1

(2n − 1)!

(sin x)(n) = sin

x +

nπ

!, см. пример 104! ;

cos x = 1

−

· · ·

(−1)n

x2n + o x2n

(2n)!

(cos x)(n)

= cos

x +

nπ

!, см. пример 105! ;

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

ln (1 + x) = x	−	x2		+	x3	+	· · ·	+	(−1)n−1	xn + o (xn)
ln (1 + x) = x		2		+		+		+	(−1)n−1	xn + o (xn)
		2		3					n
(ln (1 + x))(n) = (−1)n−1(n − 1)!(1 + x)−n, ;
				см. пример 106
				см. пример 106
(1 + x)α = 1 +	n		α(α − 1) · · · (α − k + 1)xk + o (xn)
	X
	k=1						k!