Пример 114. Найти lim xx.
x→0+
Решение. Найдём сначала
x |
lim |
x 10.11 |
lim |
x ln x = (0 |
· ∞ |
) = |
|
→ |
0+ ln x |
|
|
= |
x |
→ |
0+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
83 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
ln x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
→ |
0+ |
|
|
|
|
|
x |
→ |
0+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( |
− |
x) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x→0+ |
|
Тогда
lim xx = e0 = 1.
x→0+
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.8.2. Формула Тейлора.
Пусть функция f : (a, b) → R имеет непрерывные производные до n порядка включительно
на интервале (a, b) и x0 (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 133. Многочлен
Ðn(x; x0) =
= f(x0) + f0(x0)(x − x0) + f00(x0)(x − x0)2 + · · ·
1! 2!
· · · + f(n)(x0)(x − x0)n. n!
называется полиномом Тейлора порядка n функции f в точке x0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Полином Тейлора Ðn(x; x0) совпадает с функцией f в точке x0 и даёт некоторое приближение функции f в Uε(x0). Поэтому особый интерес приобретает изучение разности
rn(x; x0) = f(x) − Ðn(x; x0). |
(5.20) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 84. (Пеано) Пусть функция f
дифференцируема (n − 1) раз в некоторой ε-окрестности точки x0 и существует f(n)(x0). Тогда
rn(x; x0) = f(x) − Ðn(x; x0) = o ((x − x0)n)
при x → x0.
Доказательство. Обозначим через
α(x) = rn(x; x0) .
(x − x0)n
Покажем, что lim α(x) = 0.
x→x0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Применяя правило Лопиталя (n − 1) раз найдём
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
rn(x; x0) |
= |
0 |
= |
lim |
|
rn0 (x; x0) |
|
|
= |
|
0 |
= |
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
(x − x0)n |
|
0 |
x→x0 n(x − x0)(n−1) |
|
0 |
|
|
· · · |
= |
lim |
|
rn(n−1)(x; x0) |
|
= |
0 |
|
= |
1 |
lim |
f(n−1)(x) − Pn(n−1)(x; x0) |
= |
|
n!(x − x0) |
|
|
|
|
x→x0 |
|
0 |
|
n! x→x0 |
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
= |
|
0 |
|
= |
1 |
|
lim |
f(n−1)(x) − f(n−1)(x0) − f(n)(x0)(x − x0) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
n! x→x0 |
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
lim |
|
f(n−1)(x) − f(n−1)(x0) |
− |
f(n)(x |
) = |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
x |
− |
x0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n1! f(n)(x0) − f(n)(x0) = 0.
По определению 85, rn(x; x0) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем бесконечно малая (x − x0)n при x → x0, т.е.
rn(x; x0) = f(x) − Ðn(x; x0) = o ((x − x0)n) при x → x0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 134. Формула
f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0)+ 1!
+ f00(x0)(x − x0)2 + · · ·
2!
· · · + f(n)(x0)(x − x0)n + o ((x − x0)n) n!
при x → x0. (5.21)
называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Формулу (5.21) удобно использовать для вычисления пределов. Между тем естественно использовать полином Тейлора как приближение к функции f, с помощью которого она может быть вычислена с нужной степенью точности. Для этого нужно получить другие формы записи остаточного члена rn(x; x0).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 85. Если на отрезке I с концами x0, x функция f непрерывна вместе с первыми n своими производными, а во внутренних точках этого отрезка она имеет производную порядка (n + 1), то при любой функции ϕ, непрерывной на отрезке I и имеющей отличную от нуля производную в его внутренних точках, найдётся точка ξ, лежащая между x0 и x, такая, что
rn(x; x0) = ϕ(x)0− ϕ(x0)f(n+1)(ξ) (x − ξ)n . ϕ (ξ)n!
(5.22)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. На отрезке I с концами x0, x рассмотрим вспомогательную функцию
F (t) = f(x) − Pn (x; t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
f0(t) |
− |
|
|
|
= f(x) |
|
|
|
(x |
t)+ |
|
|
f(t) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x t)n |
+ |
|
(x t)2 + |
|
+ |
|
|
f |
|
(t) |
|
− |
· · · |
|
f(n)(t) |
|
|
|
2! |
|
|
|
n! |
|
− |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
