Пример 111. Найти
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin 5x |
. |
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
Решение. lim |
sin 5x |
0 |
|
lim |
5 cos 5x = 5. |
x→0 |
x |
= 0 = x→0 |
1 |
Все условия теоремы 82 здесь выполнены. Замечание 1. В возможности применения пра-
вила Лопиталя всегда убеждаемся после того, как найдём предел отношения производных. При этом не следует забывать о проверке условий 1-4 теоремы 82.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание 2. Правило Лопиталя можно применять и для нахождения одностороннего предела. В этом случае достаточно потребовать, чтобы функции f и g удовлетворяли условиям теоремы 82, соответственно, в правой (левой) ε - окрестности точки x0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание 3. Если окажется, что f0(x) и g0(x) бесконечно малые при x → ω, то можно ставить вопрос о повторном применении правила Лопиталя.
Пример 112. Найти
lim 1 − cos 5x.
x→0 x2
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение.
lim 1 − cos 5x
x→0 x2
=
|
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5 sin 5x |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
25 cos 5x |
= |
|
25 |
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
2 |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.8.1.2. Неопределённость вида ∞∞!.
Пусть f, g : A → R, A R. Обозначим через ω конечную или бесконечно удалённую предельную точку множества A.
Теорема 83. (Лопиталь) Пусть существует Uε(ω) такая, что: 1. функции f и g непрерывны в Uε (ω);
2. функции f и g дифференцируемы в Uε (ω); 3. g0(x) 6= 0 для всех x Uε (ω);
4. lim f(x) = lim g(x) = ∞;
x→ω x→ω
5. существует lim
x→ω
Тогда:
1. существует lim |
|
|
x→ω |
2. lim |
f(x) |
= lim |
f0(x) |
|
|
|
x→ω g(x) |
x→ω g0(x) |
f00(x) (конечный или бесконечный).
g (x)
fg((xx));
.
Доказательство теоремы опустим.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 113. Найти |
|
lim |
|
xxn |
, при a > 1. |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
xn |
= |
|
∞ |
|
= |
|
lim |
|
|
nxn−1 |
= |
|
∞ |
= |
x |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
+ |
∞ a |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
x |
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
n(n − |
1)x |
|
− |
= |
∞ |
|
= |
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
|
|
x |
(ln a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ ax(ln a)n |
|
Заметим, что вся цепочка последних равенств носила условный характер до тех пор, пока мы не пришли к выражению, предел которого смогли найти.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.8.1.3. Другие виды неопределённости.
Пусть f, g : A → R, A R. Обозначим через ω конечную или бесконечно удалённую предельную точку множества A. Неопределённости вида (0 · ∞) и (∞ − ∞) алгебраическими преобразованиями можно свести к неопреде-
лённостям вида 0 или ∞!.
0 ∞
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть
lim f(x) = 0
x→ω
и
lim g(x) = ∞.
x→ω
Тогда
|
|
|
|
|
|
lim |
f(x) |
= |
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f(x)g(x) = (0 |
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
ω |
· ∞ |
|
|
lim |
g(x) |
= |
∞ |
! . |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть, далее,
lim f(x) = +∞
x→ω
и
lim g(x) = +∞
x→ω
Тогда
lim (f(x) − g(x))
x→ω
= (∞ − ∞) =
= lim g(1x) − f(1x) |
x→ω |
f(1x) · g(1x) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Неопределённости вида (1∞) , 00! , ∞0! возникают при нахождении предела при x → ω функции y = [f(x)]g(x), f > 0 вблизи ω. Для нахождения предела при x → ω такой функции достаточно найти предел при x → ω функции ln y = g(x) · ln f(x).
Действительно, если
lim ln y = (0 · ∞) = k R,
x→ω
то lim y = ek.
x→ω
Если же
lim ln y = (0 · ∞) = ±∞,
x→ω
то lim y равно +∞ и 0, соответственно.
x→ω
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
