(g(t) − g(a)) .
п.2. Рассмотрим вспомогательную функцию
t [a, b]:
F (t) = f(t) − f(a) − f(b) − f(a) g(b) − g(a)
Функция F удовлетворяет условиям теоремы Ролля´ . Действительно,
1.функция F : [a, b] → R непрерывна на [a, b] (см. теорему 57);
2.функция F : [a, b] → R дифференцируема на (a, b) (см. теорему 73);
3.F (a) = F (b) = 0.
Тогда существует точка ξ (a, b) такая, что
F 0(ξ) = 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как
t (a, b) : F 0(t) = f0(t) − f(b) − f(a)g0(t), g(b) − g(a)
то, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
(ξ) = f |
(ξ) |
|
f(b) |
− |
f(a) |
g |
|
|
|
g0 |
(ξ)=0 |
|
|
|
|
|
(ξ) = 0 = |
6 |
0 |
0 |
|
− |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(b) |
− |
g(a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(b) |
− |
|
|
f0(ξ) |
|
|
|
|
|
|
|
f(a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(b) |
− |
g(a) |
|
|
g |
(ξ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрическая иллюстрация теоремы Коши´ - та же, что и для теоремы Лагранжа, см. рис. 5.13.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Рассмотрим плоскую кривую с параметризацией |
t →Ã (g(t), f(t)) , t [a, b]. |
Тогда f(b)−f(a) есть угловой коэффициент хорды, соединяющей кон- |
g(b)−g(a) |
|
цы дуги этой кривой, а f0(ξ) - угловой коэффициент касательной в |
g0(ξ) |
|
некоторой внутренней точке дуги, отвечающей t = ξ. |
y |
|
f(b) |
|
f(ξ) |
|
f(a) |
|
0 g(a) g(ξ) |
g(b) x |
Рис. 5.13 Теорема Коши´ |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.8.Исследование функций методами дифференциального исчисления.
Теоремы этого раздела позволяют делать выводы о поведении функции на основании имеющейся информации о её производных.
Методами дифференциального исчисления можно находить пределы функций, интервалы постоянства и монотонности функций, точки экстремума функций, наибольшие и наименьшие значения функций, интервалы вогнутости и выпуклости функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.8.1.Правило Лопиталя.
В1696 году вышло из печати главное творение жизни Лопиталя
– "Анализ бесконечно малых для познания кривых линий". Это был первый печатный учебник по дифференциальному исчислению, с появлением которого началось широкое знакомство с анализом бесконечно малых и постепенное проникновение его в математическую практику. В основу своей книги Лопиталь положил лекции Иоганна Бернулли, написанные специально для Лопиталя,
рукопись которых была найдена в 1921 году.
"Правило Лопиталя" раскрытия неопределенностей вида 00 также было сообщено Лопиталю Иоганном Бернулли.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.8.1.1. Неопределённость вида 00 .
Пусть f, g : A → R, A R. Обозначим через ω конечную или бесконечно удалённую предельную точку множества A.
Теорема 82. (Лопиталь) Пусть существует Uε(ω) такая, что: 1. функции f и g непрерывны в Uε (ω);
2. функции f и g дифференцируемы в Uε (ω); 3. g0(x) 6= 0 для всех x Uε (ω);
4. lim f(x) = lim g(x) = 0;
x→ω x→ω
5. существует lim
x→ω
Тогда:
1. существует lim |
|
|
x→ω |
2. lim |
f(x) |
= lim |
f0(x) |
|
|
|
x→ω g(x) |
x→ω g0(x) |
f00(x) (конечный или бесконечный).
g (x)
fg((xx));
.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. п.1. Пусть ω = x0 R.
Рассмотрим функции
|
f(x), |
если x Uε(x0), |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
1 |
|
|
|
|
если x = x0 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
если x Uε(x0), если x = x0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда, по теореме Коши´, имеем
|
|
|
Uε (x0) : |
f1(x) |
− |
f1(x0) |
|
f0(ξ) |
, |
|
|
x |
|
|
= |
|
1 |
|
|
g1(x) |
g1(x0) |
g10 (ξ) |
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ξ лежит между x и x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
U (x0) : |
f(x) |
= |
f0(ξ) |
, |
|
|
ε |
g(x) |
|
g0(ξ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ξ лежит между x и x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как ξ лежит между x и x0, то
( при x → x0) = (ξ → x0) . (5.19)
Переходя к пределу в (5.18) при x → x0 и, учитывая при этом (5.19), получим
lim |
f(x) |
= |
lim |
f0(ξ) |
= |
lim |
f0(x) |
. |
|
g0(ξ) |
|
x→x0 |
g(x) |
|
ξ→x0 |
|
x→x0 |
g0(x) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
п.2. Пусть ω = −∞, ∞ или +∞. Положим y = x1 . Тогда
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f y |
|
п.1 |
|
|
|
fx0 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ylim0 |
|
|
|
= ylim0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
g y |
|
→ |
|
gx0 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fx0 y1 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
f |
x0 |
(x) |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
ω |
|
g |
|
(x) |
|
|
|
|
|
→ |
|
x0 |
|
|
y = |
x |
|
|
→ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
g |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
y1 |
|
|
|
f |
x0 |
(x) |
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x ω |
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
ω |
g |
|
|
(x) |
→ |
|
x = |
y |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
→ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
