5.7.3. Теорема Лагранжа.
Теорема 80. (Лагранж) Пусть:
1.функция f : [a, b] → R непрерывна на [a, b];
2.функция f : [a, b] → R дифференцируема на (a, b).
Тогда существует точка ξ (a, b) такая,
что
f(b) − f(a) = f0(ξ)(b − a).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию x [a, b]:
F (x) = f(x) − f(a) − f(b) − f(a) (x − a) . b − a
Функция F удовлетворяет условиям теоремы Ролля´ . Действительно,
1.функция F : [a, b] → R непрерывна на [a, b] (см. теорему 57);
2.функция F : [a, b] → R дифференцируема на (a, b) (см. теорему 73);
3.F (a) = F (b) = 0.
Тогда существует точка ξ (a, b) такая, что
F 0(ξ) = 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(a, b) : F |
(x) = f |
(x) |
− |
f(b) − f(a) |
, |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
b |
− |
a |
|
|
|
то, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
(ξ) = f |
(ξ) |
|
f(b) − f(a) = 0 |
= |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
− |
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
f(b) |
− |
f(a) |
|
|
|
|
|
|
|
f0(ξ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
− |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
f(b) − f(a) = f0(ξ)(b − a), a < ξ < b,
называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание 1. Теорема Лагранжа важна тем, что она связывает приращение функции на конечном отрезке с производной функции на этом отрезке. Правда, в формуле конечных приращений Лагранжа фигурирует неизвестное нам число ξ, но это не мешает, однако, многообразным применениям этой формулы в математическом анализе.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
f(b)−f(a). b−a
Замечание |
2. |
Геометрически теорема |
Лагранжа означает |
(рис. 5.12), |
что |
в некоторой точке (ξ, f(ξ)), |
где ξ (a, b), каса- |
тельная к графику функции будет параллельна хорде, соединяющей точки (a, f(a)) и (b, f(b)), ибо угловой коэффициент последней равен
y |
|
|
f(b) |
|
|
f(ξ) |
|
|
f(a) |
|
|
0 |
a ξ |
bx |
Рис. 5.12 Теорема Лагранжа |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА Иллюстрация теоремы Лагранжа для функции
f(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x3.
Нижняя и верхняя границы сегмента определения задаются движками "a" и "c", соответственно.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание 3. Если x интерпретировать как время, а f(b) − f(a) как величину перемещения за время (b − a) частицы, движущей по прямой, то теорема Лагранжа означает, что если бы в течении всего промежутка времени [a, b] частица двигалась с постоянной скоростью f0(ξ), то она сместилась бы на ту же величину (f(b) − f(a)). Величину f0(ξ) называют средней скоростью движения на промежутке [a, b].
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.7.4. Теорема Коши´.
Теорема 81. (Коши)´ Пусть:
1.функция f, g : [a, b] → R непрерывны на [a, b];
2.функция f, g : [a, b] → R дифференцируемы на (a, b);
3.g0(t) 6= 0 для всех t (a, b).
Тогда существует точка ξ (a, b) такая, что
|
f(b) − f(a) |
= |
f0(ξ) |
, |
(5.17) |
|
|
g0(ξ) |
|
g(b) − g(a) |
|
|
|
|
т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке ξ.
Равенство (5.17) называется формулой Коши.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. п.1. Сначала докажем, что g(b)−g(a) 6= 0. Действительно, если допустить, что g(b) − g(a) = 0 или, что то же, g(b) = g(a), то по теореме Ролля´ для функции g найдётся точка η, a < η < b, в которой g0(η) = 0. А это противоречит условию, так как g0(t) 6= 0 для всех t (a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
