Замечание 4. Теорема 78 воспроизводит лишь сущность того приёма, который использовал Ферма´ для разыскания наибольших и наименьших значений функции. (Ферма´ не располагал понятием производной).
´
ТЕОРЕМА ФЕРМА
Во внутренних точках наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = x + 2 sin x значение производной (slope) равно нулю.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5.7.2. Теорема Ролля´ .
Теорема 79. (Ролль)´ Пусть:
1.функция f : [a, b] → R непрерывна на [a, b];
2.функция f : [a, b] → R дифференцируема на (a, b);
3.f(a) = f(b).
Тогда существует точка ξ (a, b) такая, что f0(ξ) = 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Функция f непрерывна на [a, b]. Тогда, в силу второй теоремы Вейерштрасса (теорема 64), на этом отрезке найдутся точки x1 и x2, в которых функция f принимает наибольшее и наименьшее значения. Если x1 = x2, то функция f постоянна на отрезке [a, b] и f0(x) = 0 всюду на [a, b].
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Если же x1 6= x2, то либо f(x1), либо f(x2) не равно f(a) = f(b). Обозначим через ξ одну
из этих точек, в которой равенство не имеет места. Это будет внутренняя точка ξ (a, b), в которой функция f принимает наибольшее
или наименьшее значение. Следовательно, по теореме Ферма´, f0(ξ) = 0. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание. Ролль доказал чисто алгебраическими средствами утверждение равносильное теореме 79 только для целого алгебраического многочлена.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание. Каждое из условий теоремы 79 является необходимым. Это подтверждается рассмотрением функций, графики которых изображены на рис. 5.11:
1. функция f не является непрерывной на [a, b] (рис. 5.11.a);
2.функция f не дифференцируема в точке 0 (−1, 1) (рис. 5.11.b);
3.f(0) 6= f(1). (рис. 5.11.c)
0 a a). b x |
−1 |
0 b). |
1 x |
0 |
c). 1 x |
|
Рис. 5.11 Теорема Ролля´ |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 132. Нулём функции называют значение аргумента, при котором функция равна нулю.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следствие 79.1. (Ролль)´ Пусть:
1.функция f : [a, b] → R непрерывна на [a, b];
2.функция f : [a, b] → R дифференцируема на (a, b);
3.f(a) = f(b) = 0.
Тогда существует точка ξ (a, b) такая, что f0(ξ) = 0. Другими словами, между двумя нулями функции находится по крайней мере один нуль её производной.
Доказательство. Следствие 79.1 это теоре- ма 79 сформулированная с учётом определения 132. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следствие 79.2. (Ролль)´ Пусть:
1.функция f : [a, b] → R непрерывна на [a, b];
2.функция f имеет производные до n − 1 порядка включительно на (a, b);
3.функция f имеет n нулей на [a, b].
Тогда существует точка ξ (a, b) такая, что f(n−1)(ξ) = 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. По следствию 79.1: функция f0 обращается в нуль по крайней мере в (n − 1)-й точке интервала (a, b); функция f00 обращается в нуль по крайней мере в (n − 2)-х точках этого интервала;
и т.д.;
функция f(n−1) имеет по крайней мере один нуль на интервале (a, b). 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
