Inzhenernaya_grafika_Lektsii_Shibaeva

41

10.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ

ИПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ

10.1. Пересечение поверхностей плоскостью

Линия пересечения поверхности вращения с плоскостью в общем случае представляет собой плоскую кривую. Обычно построение этой линии производят по ее отдельным точкам.

При пересечении линейчатой поверхности плоскостью точки кривой можно построить как точки пересечения образующих линейчатой поверхности с секущей плоскостью, т.е. находить точку пересечения прямых с плоско-

стью. Основным способом построения точек линии пересечения поверхности (как линейчатой, так и нелинейчатой) с плоскостью является способ вспомогательных проецирующих плоскостей, который заключается в следующем:

вводится ряд вспомогательных проецирующих плоскостей, пересекающих данную поверхность по некоторым линиям, а данную секущую плоскость - по прямым. Точки пересечения этих линий с соответствующими прямыми, являясь общими для данной поверхности и данной плоскости, будут точками искомой линии пересечения.

За вспомогательные плоскости принимают такие плоскости, которые пересекают поверхность по графически простым линиям, т.е. по прямым или окружностям. Кроме того, если этими линиями являются окружности, то поверхность так должна быть расположена относительно плоскостей проекций, чтобы эти окружности проецировались на одну из плоскостей проекций без искажения.

Построение проекций точек линии пересечения начинают с точек, которые выделяются из других точек какими-либо своими особыми свойствами. К

этим точкам относятся экстремальные точки и точки видимости. Экстре-

мальными точками являются высшая и низшая точки линии сечения, а также самая ближняя, самая дальняя, самая левая и самая правая точки сечения (по отношению к наблюдателю, стоящему лицом к плоскости V ).Точками видимости являются точки, расположенные на контурной линии поверхности. Проекции этих точек лежат на соответствующем очерке поверхности. Точки видимости разграничивают линию пересечения поверхности с секущей плоскостью на видимую и невидимую части. Экстремальные точки и точки видимости относятся к числу опорных или характерных точек, в отличие от которых остальные называются промежуточными или случайными. Построение проекций случайных точек начинают после построения проекций опорных точек. Количество точек сечения должно быть достаточным для того, чтобы соединить их проекции с учетом видимости на каждой плоскости проекций.

42

Если секущая плоскость является проецирующей, то точки линии пересечения определяются без дополнительных построений в пересечении проецирующей плоскости с графически простыми линиями поверхности (рис. 10.2).

10.1.1. Пересечение поверхности цилиндра плоскостью.

В общем случае цилиндр вращения пересекается плоскостью по эллипсу (рис. 10.1, плоскость ). Если же секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то в сечении получается пара параллельных прямых - образующих (рис. 10.1, плоскость ). При пересечении с плоскостью, перпендикулярной оси цилин-

дра, в сечении получается окружность (рис. 10.1, плоскость ). На рис. 10.2 показано пересечение прямого кругового цилиндра фронтально - проецирующей плоскостью . Фигура сечения представляет собой эллипс. Способ построения линии пересечения - определение точек встречи образующих цилиндра с секущей плоскостью. Ось цилиндра перпендикулярна к плоскости H

43

чивают эллипс на видимую и невидимую части.

Для построения случайных точек сечения удобно провести равномерно расположенные образующие, т.е. такие, проекции которых на плоскость H будут точками, равноотстоящими друг от друга.

Так точка VI (6', 6, 6'') является точкой встречи образующей AB (a' b', ab) с секущей плоскостью. Она находится на видимой части цилиндра. Но симметрично точке VI (6', 6, 6'') относительно фронтальной плоскости, проходящей через горизонтальную ось горизонтальной проекции цилиндра, находится невидимая точка V (5', 5, 5'' ), как точка встречи образующей CD (c'd', cd ) с секущей плоскостью. Точки VII

(7', 7, 7'') и VIII (8', 8, 8'') - это точки встречи образующих LF (l' f ', l f ) и MN (m'n', mn),

которые симметричны образующим AB и CD соответственно относительно профильной плоскости, проходящей через вертикальную ось цилиндра на плоскость V

.Дальнейшее построение проекций фигуры сечения ясно из чертежа. Профильная проекция фигуры сечения - это эллипс, большая ось которого есть отрезок 1'' 2'', малая ось - отрезок 3'' 4''.

Если бы плоскость

эллипса на W была бы окружность.

10.1.2. Пересечение поверхности конуса плоскостью.

В сечении конуса вращения получаются все виды кривых второго поряд-

αv

Рис. 10.3–Сечения конуса плоскостями Qv

ка (конические сечения). Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса, т.е. пересекает все образующие, то в сечении получается эллипс (рис. 10.3, плоскость - v ); в частности, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то получается окружность (рис. 10.3, плоскость- v ). Если секущая плоскость параллельна двум образующим, то в сечении получается гипербола (рис.10.3, плоскость R - Rv ). Секущая плоскость, параллельная только одной образующей конуса, пересекает коническую поверхность по параболе (рис. 10.3, плоскость P - Pv ). В частности, если плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получается пара пересекающихся в вершине прямых (образующих) - рис. 10.3, плоскость Q - Qv.

На рис. 10.4 показан прямой круговой конус, пересеченный фронтально - проецирующей плоскостью . По положению фронтального следа плоскости- v можно определить, что линией пересечения является эллипс. Так как плоскость - фронтально - проецирующая, то на фронтальной плоскости эллипс проецируется в отрезок 1' 2', который является большой осью эллипса.

10.2. Пересечение поверхностей вращения прямой линией

Для построения точек пересечения прямой с какой-либо поверхностью необходимо провести через данную прямую вспомогательную секущую плоскость; затем найти линию пересечения вспомогательной плоскости с данной поверхностью и, наконец, определить точки пересечения полученной линии с данной прямой. Эти точки и будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностью.

Вспомогательная плоскость чаще всего может быть проецирующей плоскостью, но может быть и плоскостью общего положения. Главное, чтобы вспомогательная плоскость, проведенная через прямую, при пересечении этой прямой с поверхностью, была выбрана так, чтобы получились простые сечения.

Рассмотрим случай пересечения прямой AB со сферой на рис. 10.6. Так

46

как прямая AB параллельна плоскости V, за вспомогательную плоскость примем плоскость , параллельную плоскости V. Окружность сечения плоскостью сферы спроецируется на плоскость V без искажения. Эта окружность пересечется с фронтальной проекцией прямой АВ a' b' в точках 1' и 2' Горизонтальные проекции точек входа и выхода – 1 и 2 находим по принадлежности их прямой ав. Определяем видимость отрезка прямой на проекциях.

47