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:
k 1 |
|
x(k) A(n) x(k0 ), k k0. |
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n k0
(k,k0), ,
(4.23), , -
(4.24) :
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|
|
|
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|
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|
(4.25) |
|
|
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|
|
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),
:
(k k0 ) |
(4.26) |
0 (k, k0 ) 0 (k k0 ) A0 |
:
x(k +1) = A0 x(k). (4.27)
(4.26), ,
-
.
,
A(k) , A(k)
A0 A1(k).
. :
x(k +1) = [A0 + A1(k)] x(k) = A0 x(k) + A1(k) x(k) = A0 x(k) + r(k). (4.28)
(4.28) -
A0 r(k) = A1(k) x(k).
(4.28)
, (4.23).
:
k 1
x(k) A(0k k0 ) x(k) A(0k n 1) r(n).
n k0
: r(n) = A1(n) x(n)
92
:
|
k 1 |
|
x(k) A0(k k0 ) x(k0 ) A0(k n 1) A1 (n) x(n). |
(4.29) |
|
|
n k0 |
|
(4.29) . |
|
|
x(n) - |
||
(4.29) : |
k 1 |
|
|
|
|
x(k) A0(k k0 ) x(k0 ) A0(k n 1) A1 (n) A0(k k0 ) x(k0 ) |
|
|
|
n k0 |
|
n 1 |
|
|
A0(n m 1) |
A1 (m) x(m) . |
|
m k0 |
|
|
:
x(k) = [E + S( 0 A1) + S( 0 A1 S( 0 A1)) + S( 0 A1 S( 0 A1
S ( 0 A1))) + …] 0 x(k0), |
(4.30) |
S , . |
|
, (4.30), |
|
: |
|
(k, k0) = [E+ S( 0 A1) + S( 0 A1 S( 0 A1))+ …] 0, |
(4.31) |
0 (4.26).
(4.31) ,
. 1 -
, (k, k0)
.
(k,k0) -
.
.
1.-
:
|
(k0, k0) = . |
(4.32) |
2. |
(k2, k1) (k1, k0) = (k2, k0), |
(4.33) |
A(k) k, -
:
min(k0, k1, k2) k max(k0, k1, k2).
93
A(k) k N, -
(4.33) max(k0, k1, k2) N.
3. |
(k1, k2) = –1(k2, k1), |
(4.34) |
|
A(k) : |
|
||
k = k2 – 1, k2 – 2, … k1 |
(k2 k1), |
|
|
k = k1 – 1, k1 – 2, … k2 |
(k1 k2). |
|
|
4. |
(4.33) : |
|
|
|
(k +n)= (k) (n). |
(4.35) |
|
5. |
(4.34) : |
|
|
|
(k) = –1(–k). |
(4.36) |
– . (4.25)
n . (k,k0)
(4.31)
A1(k) 0 (
) . ,
-.
-
( ) .
-
. -
.
1. .
, (4.27) -
( ) , 0 -
.
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( 1)k ( 2)k |
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( 1)k 2( 2)k |
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2( 1)k 2( 2)k |
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(n – 1)- , n – , -
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(k – k0) :
(k k0 ) A(k k0 ) |
0E 1A 2 A2 ... n 1A(n 1) . |
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( 1)k 2( 2)k |
. |
2( 1)k 2( 2)k |
|
2( 1)k 2( 2)k |
|
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3. z- . z-
(4.27),
:
zX(z) – zx(0) = AX(z).
X(z), :
X(z) = (zE – A) –1 zx(0),
, :
97
x(k) = Z –1 {(zE – A) –1 z} x(0).
, :
|
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(k) = Z –1 {(zE – A) –1 z}. |
(4.37) |
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(zE–A):
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(z 1)(z 2) |
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(z 1)(z 2) |
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|
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Z |
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(z 1)(z 2) |
|
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z 1 |
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z 2 |
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z 1 |
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( 1)k 2( 2)k .
,
4.1 4.2.
(4.37) –
, . -
(zE – A) –1 -
.
(zE – A) –1 z = F. :
zF =zE + AF. (4.38)
(zE + A)
:
z2F= A2F+ zA +z2E. |
(4.39) |
(zE + A), :
z3F = A3F+ zA2 +z2A + z3E. |
(4.40) |
, : |
|
z4F = A4F+ zA3+z2A2 + z3A + z4E, |
(4.41) |
……………….. |
|
………………….. |
|
znF = AnF + zAn–1+… + zn–1A + znE. |
(4.42) |
(4.38)–(4.42) F = F
ai -
, :
a0F = a0F,
a1zF = a1AF + a1zE,
a2z2F = a2A2F + a2zA + a2z2E,
………..
an–1z(n–1)F = an–1A(n–1)F + an–1zA(n–2) + … + an–1z(n–1)E, |
(4.43) |
znF = AnF + zA(n–1) + … + z(n–1)A + znE,
ai –
anzn + an–1z(n–1) + … + a1z + a0 = 0 (an = 1).
99
(4.43), -
:
n |
n |
n |
n |
n |
ai ziF ai AiF ai A(i 1) z ai A(i 2) z 2 |
... ai A(i n 1) z(n 1) z nE, |
|||
i 0 |
i 0 |
i 1 |
i 2 |
i n 1 |
|
|
|
|
(4.44) |
an = 1.
(4.44)
. -
(4.44) F, :
|
n |
n |
|
n |
|
n |
|
|
||
|
z j ai A(i j) |
|
z j ai A(i j) |
|
|
|||||
F |
j 1 |
i j |
|
j 1 |
|
i j |
. |
(4.45) |
||
|
n |
|
|
zE A |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
ai zi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0
(4.45) –
Adj(zE – A)z. F (4.45), -
:
(k) = Z –1(F).
4.2.2
, -
. -
, -
. L* -
L :
, Lx = L* , x , |
(4.46) |
– , -
:
k 1 |
|
a, b aT (i 1) b(i). |
(4.47) |
i k0
, Lx (4.23), :
|
100 |
k 1 |
k 2 |
, Lx T (i 1) x(i 1) A(i) x(i) T (k ) x(k) T (i 1) x(i 1) |
|
i k0 |
i k0 1 |
k 1 |
k 1 |
T (i) |
T (k0 ) x(k0 ) T (i 1) A(i) x(i) |
||
i k0 |
i k0 |
|
T (k) x(k) T (k0 ) x(k0 ).
T (i 1) A(i) x(i)
(4.48)
-
: |
|
T(k), x(k) = const, |
(4.49) |
k = 0, 1, 2, … .
(4.49):
T(k) x(k) = T(k0) x(k0),
(4.48) , :
L*( ) = T(i) – T(i+1) A(i),
:
T(i) = T(i +1) A(i).
, -
A(i), : |
|
(i +1)= [A –1(i)] T (i). |
(4.50) |
(4.50) -
.
-
.
(k, k0) (4.23):
(k +1, k0) = A(k) (k, k0).
-
, :
[ –1(k +1, k0)] T = [A –1(k)] T [ –1(k, k0)] T. (4.51)
(4.51) (4.50) ,
[ –1(k, k0)] T (4.50) , , -
.
(4.49) -
, .