•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 236. В линейном пространстве V2(π) фиксирована правая декартовая система координат (O,~ı,~|). Дана кривая:
|
|
|
2x2 |
|
4xy + 2y2 |
+ 10x+ 2y + 5 = 0. (11.9) |
|
T |
|
− |
|
|
|
|
|
|
В пространстве V2(π) постройте новую 
И
правую декартову систему координат, в которой уравнение заданной кривой приймет канонический вид. На чертеже изобразите старую и новую системы
координат и кривую.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Приводим квадратичную форму
B(x, y) = 2x2 − 4xy + 2y2
к главным осям. Запишем матрицу этой формы:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Найдём собственные числа матрицы B. Для этого составим характеристическое уравнение матрицы B:
|
|
|
|
2 |
|
λ |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
det (B |
− |
λE) = |
|
|
|
|
|
|
= λ |
|
− |
4λ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим корни характеристического уравне-
ния: λ1 = 4, λ2 = 0. Так как λ1 · λ2 = 0, то кривая (11.9) парабола.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Координаты собственных векторов p~1 |
= |
|
ξ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующих собственному числу λ1 = 4
матрицы B, удовлетворяют |
системе уравне- |
|
|
~ |
т.е. |
|
ний: (B − 4E) · p~ = 0, |
|
|
2ξ |
− |
2η = |
0 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
2η = 0. |
|
|
2ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта система имеет бесчисленное множество решений.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Выбираем целочисленное решение p~1 |
= |
|
1 |
|
− |
|
. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём координаты орта вектора p~1, т.е.
Вектор p~10 возьмём в качестве одного из базисных векторов нового декартового базиса.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Перейдём к новому базису (p~10, p~20) по формулам
x |
|
= Q |
u |
|
, где Q = |
1 |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица перехода от старого базиса (~ı,~|) к новому базису (p~10, p~20) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда уравнение (11.9) в новой системе координат (O, p~10, p~20) принимает вид
4u2 |
8 |
12 |
|
− √ |
|
u − √ |
|
v + 5 = 0. |
2 |
2 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Выделяя полные квадраты, получим
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
− √8 |
|
= 2 |
√8 |
|
− √8 |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
