Найдём собственные числа матрицы B. Для этого составим характеристическое уравнение матрицы B:
|
|
|
|
14 λ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
det (B |
− |
λE) = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
11 |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= λ2 − 25λ + 150 = 0.
Находим корни характеристического уравнения: λ1 = 10, λ2 = 15.
Так как λ1 · λ2 > 0, то кривая (11.6) эллипс.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Координаты собственных векторов p~1 |
= |
|
ξ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующих собственному числу λ1 = 10
матрицы B, удовлетворяют |
системе уравне- |
|
~ |
|
|
|
ний: (B − 10E) p~ = 0, т.е. |
|
|
4ξ |
− |
2η = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
η = 0. |
|
|
|
2ξ + |
Эта система имеет бесчисленное множество решений.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Выбираем целочисленное решение p~1 |
= |
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём координаты орта вектора p~1 , т.е.
Вектор p~10 возьмём в качестве одного из базисных векторов нового декартового базиса.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Перейдём к новому базису (p~10, p~20) по формулам
u |
|
, где Q = |
1 |
|
|
1 |
− |
2 |
|
(11.7) |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица перехода от старого базиса (~ı,~|) к новому базису (p~10, p~20) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда уравнение (11.6) в новой системе координат (O, p~10, p~20) принимает вид
10u2 |
+ 15v2 |
20 |
60 |
|
+ √ |
|
u − √ |
|
v − 16 = 0. |
5 |
5 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Выделяя полные квадраты, получим
|
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
10 |
|
√5 |
|
+ 15 |
|
− √5 |
|
= 30. |
u + |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Совершим параллельный перенос осей координат в новое начало O по формулам
1 |
2 |
|
w = u + √ |
|
, z = v − √ |
|
. |
5 |
5 |
Тогда в системе координат (O , p~10, p~20) уравнение (11.6) принимает вид
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Строим кривую (11.6). Из (11.7) следует, что уравнения прямых, на которых располагаются новые координатные оси, имеют вид
= |
1 |
|
|
|
x + 2y + 1 |
|
= |
|
0 |
|
, |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. Пw : −2x + y − 2 = 0, Пz : x + 2y + 1 = 0.
Строим прямые Пw, Пz.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решая систему
Пw : −2x + y − 2 = 0, Пz : x + 2y + 1 = 0,
находим координаты (−1, 0) точки O , начала
новой системы координат (O , p~10, p~20) . В системе координат O wz строим эллипс (11.8).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
