ALGEBRA

Совершим параллельный перенос координат-

формулам w = u + 2da, z = v + 2ec. Тогда относительно системы координат (O , w, z) уравне-

ние (11.2) имеет вид

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.1) Пусть ac > 0 и cd2 + ae2 − 4acF = 0.

Тогда уравнение (11.3) является уравнением кривой второго порядка, вырождающейся в точку O (0, 0) .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.2) Пусть ac > 0 и cd2 + ae2 − 4acF < 0.

Тогда уравнению (11.3) не удовлетворяет ни одной точки.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.3) Пусть ac > 0 и cd2 + ae2 − 4acF > 0.

Тогда уравнение (11.3) можно переписать в ви-

Последнее уравнение – это каноническое уравнение эллипса.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Таким образом, кривая второго порядка, определяемая в базисе, состоящем из главных осей квадратичной формы

Ax2 + 2Bxy + Cy2,

уравнением

au2 + cv2 + du + ev + F = 0,

в котором ac > 0, либо является эллипсом, либо вырождается в точку, либо уравнению не удовлетворяет ни одной точки.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.1) Пусть ac < 0 и cd2 + ae2 − 4acF = 0.

Тогда уравнение (11.3) можно переписать в ви-

де

| a | w2 = | c | z2.

Последнее уравнение является уравнением

кривой второго порядка, распадающейся на две пересекающиеся прямые.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2) Пусть ac < 0 и cd2 + ae2 − 4acF 6= 0.

Тогда уравнение (11.2) можно переписать в виде

Так как

то последнее уравнение является каноническим уравнением гиперболы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Таким образом, кривая второго порядка, определяемая в базисе, состоящем из главных осей квадратичной формы

Ax2 + 2Bxy + Cy2,

уравнением

au2 + cv2 + du + ev + F = 0,

в котором ac < 0, либо является гиперболой, либо распадается на пару пересекающихся прямых.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.1) Пусть a 6= 0, c = 0, e = 0. Тогда уравнение (11.1) имеет вид

Eсли 4da22 − Fa ≥ 0, то кривая второго порядка распадается на пару параллельных прямых.

Eсли же 4da22 −Fa < 0, то последнему уравнению не удовлетворяет ни одной точки.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.2) Пусть a 6= 0, c = 0, e 6= 0. Тогда уравнение (11.1) имеет вид

au2 + du + ev + F = 0,

т.е.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit