ALGEBRA

Пусть точка M(x, y) лежит на параболе и

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Покажите самостоятельно, что, возводя в квадрат, мы не ввели “лишних” точек.

Итак, уравнение параболы:

Уравнение (10.8) называется каноническим уравнением параболы, число p – парамет-

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Парабола (10.8) лежит в правой полуплоскости и симметрична относительно оси абсцисс. Точка пересечения параболы с её осью сим-

метрии называется вершиной параболы. S

Посмотрите как меняется вид параболы при изменении её параметра p. Изменение параметра a, −8 ≤ a ≤ 8, задаёт движение точки по параболе.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Глава 11

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

В пространстве V2(π) фиксируем правую декартову систему координат (O,~ı,~|). Общее уравнение второй степени с неизвестными x и y имеет вид:

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.

Показано, что кривые второго порядка (если не считать случаев распадения и вырождения) могут быть только эллипсами (в частности, окружностями), гиперболами и параболами.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Выбирая новую правую декартову систему координат, можно привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду.

Зная каноническое уравнение кривой второго порядка, её легко построить в новой правой декартовой системе координат.

Выбор новой системы координат, в которой уравнение кривой второго порядка будет

иметь канонический вид, происходит в два этапа.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

На первом этапе выбирается новый правый декартовый базис в пространстве V2(π). Для этого находим базисные вектора главных осей квадратичной формы

Ax2 + 2Bxy + Cy2,

которыми являются единичные собственные вектора матрицы квадратичной формы. При этом базисные вектора главных осей квадратичной формы располагаем в таком порядке, чтобы составленный из них декартовый базис пространства V2(π) был правым.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда в новом базисе уравнение заданной кривой второго порядка имеет вид:

причём (d e) = (D E) ·Q, где Q – матрица перехода от старого правого декартового базиса к новому правому базису, а коэффициенты a и c – собственные числа матрицы квадратичной формы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

На данном этапе по коэффициентам уравнения (11.1) можно определить тип заданной кривой второго порядка. Покажем, что:

1) Eсли ac > 0, то кривая (11.1) – эллипс

( cd2 + ae2 − 4acF = 0 – вырожденный случай, точка).

2) Eсли ac < 0, то кривая (11.1) – гипербола ( cd2 + ae2 − 4acF = 0 – вырожденный случай, пара пересекающихся прямых).

3) Eсли ac = 0, то кривая (11.1) – парабола

( d2 + e2 = 0 – вырожденный случай, пара параллельных прямых).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть ac > 0 или ac < 0. Выделяя полные квадраты, преобразуем уравнение (11.1) к виду

(11.2)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit