Так как 2a < 2c (разность двух сторон треугольника меньше третьей его стороны ), то положим c2 −a2 = b2. Тогда последнее уравнение имеет вид:
x2 |
− |
y2 |
(10.7) |
|
|
= 1. |
a2 |
b2 |
Также, как и в случае эллипса, необходимо проверить, что, в результате возведения в
квадрат обеих частей уравнения, не получены “лишние” точки.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Предварительно отметим некоторые свойства линии, определяемой уравнением (10.7). Эта линия симметрична относительно осей коор-
динат и относительно начала координат.
√
Так как y = ±ab x2 − a2 , то для всех точек кривой |x| ≥ a и нет точек кривой в полосе {(x, y) | − a < x < a, y R}. Кривая состоит, следовательно, из двух отдельных частей
– ветвей гиперболы, одна из которых лежит в области {(x, y) | x ≥ a, y R}, а другая – в области {(x, y) | x ≤ −a, y R} (правая и левая ветви гиперболы).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Покажем, что в уравнении (10.7) нет “лишних” точек. Для этого надо показать, что если координаты точки M0(x0, y0) удовлетворяют уравнению (10.7), где b2 = c2 − a2, то
v |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
u(x |
0 |
+ c) |
|
+ y |
0 |
= a + |
|
x |
0 |
|
. |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
a |
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
= |
c2 − a2 |
x2 |
− |
(c2 |
− |
a2), |
0 |
|
a2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
v |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
u(x0 |
+ c) + y |
0 |
= u |
|
a + |
|
x0 . |
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
a |
|
Eсли x0 ≥ |
a, c |
> a (т.е. |
для точек |
пра- |
c |
|
вой ветви гиперболы), то a + ax0 > 0. |
При |
x |
0 ≤ −a, c > |
a (т.е. для точек левой ветви ги- |
|
c |
< 0. Значит “лишних” точек |
перболы) a + ax0 |
нет. |
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Уравнение (10.7) называется каноническим уравнением гиперболы, число a действительной полуосью гиперболы, число b мнимой полуосью, точки пересечения гиперболы с её осью симметрии – вершинами гипербо-
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
b |
являются |
асимптотами ги- |
Прямые y = ±ax |
c |
|
перболы. Величина ε = a |
называется эксцен- |
триситетом гиперболы, а прямые x = ±aε – |
её директрисами. |
|
S |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Правая ветвь гиперболы (10.7) может быть записана в параметрическом виде:
x = a ch t =
y = b sh t =
a2 |
et + e−t! |
(−∞ < t < +∞). |
b |
et |
− |
e t! |
2 |
|
− |
|
Посмотрите как меняется вид гиперболы в зависимости значений параметров a и b. Параметр p, −1.5 ≤ p ≤ 1.5, определяет положение точки на гиперболе. При изменении значений параметра p, −1.5 ≤ p ≤ 1.5, точка движется по правой ветви гиперболы.
Гипербола xa22 − yb22 = 1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
10.7.Парабола
Определение 96. Параболой называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной точки F и заданной прямой D этой же плоскости. Точка F называется фокусом параболы, а прямая D – директрисой пара-
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Задача 21. Фиксированы плоскость π, точка F π – фокус параболы и прямая D π – директриса параболы. Найти уравнение параболы.
Обратите внимание, ставится задача получить уравнение параболы, но системы координат в V2(π) ещё нет. Выбор подходящей системы координат – это очень важный момент при написании уравнения кривой.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение.
Выберем ось (абсцисс), правой декартовой системы координат, следующим образом:
1.Прямая П проходит через фокус F, перпендикулярно директрисе D;
2.За начало отсчёта возьмём точку O П,
равноудалённую от фокуса F и директрисы D;
−→
3. Направление отсчёта – OF ;
4. Масштаб – расстояние между фокусом и директрисой равно p единиц.
Тогда точка F будет иметь координаты p2, 0! , а уравнение прямой D: x = −p2 (см. S).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
