ALGEBRA

Так как 2a > 2c, то положим a2−c2 = b2. Тогда последнее уравнение имеет вид:

Итак, координаты каждой точки эллипса удовлетворяют уравнению (10.5). Но так как в процессе преобразований возводили в квадрат обе части уравнения, необходимо проверить, не получены ли “лишние” точки.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Для этого надо показать, что если координаты произвольной точки M0(x0, y0) удовлетворяют уравнению (10.5), где b2 = a2 − c2, то

Но |x0| ≤ a, c < a и, следовательно,

a + acx0 > 0. Значит “лишних” точек нет.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Уравнение (10.5) называется каноническим

уравнением эллипса, числа a и b называются полуосями эллипса, а точки пересечения эллипса с его осями симметрии – вершинами

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

С изменением c меняется форма эллипса. При c = 0 эллипс превращается в окружность

x2 + y2 = a2.

Eсли же c → a, то эллипс “сжимается” вдоль оси ординат. Величина

ε = ac (0 ≤ ε < 1)

называется эксцентриситетом эллипса и яв-

ляется мерой отклонения эллипса от окружности.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Уравнение эллипса можно записать ещё в

параметрической форме (см. S и уравнение (10.5)):

x = a cos t

(0 ≤ t < 2π).

y = b sin t

Посмотрите как меняется вид эллипса при изменении значений его полуосей a и b. Параметр p, p := 2πp, 0 ≤ p ≤ 1, определяет положение точки на эллипсе. При изменении

значений параметра p, 0 ≤ p ≤ 1, точка движется по эллипсу.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

10.6.Гипербола

Определение 95. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, постоянно. S

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Задача 20. Фиксирована плоскость π и две точки F1, F2 π – фокусы гиперболы. Найти уравнение гиперболы.

Обратите внимание, ставится задача получить уравнение гиперболы, но системы координат в V2(π) ещё нет. Выбор подходящей системы координат – это очень важный момент при написании уравнения кривой.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение.

Систему координат выберем следующим обра-

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть F1(−c, 0), F2(c, 0), c > 0.

Полученное уравнение гиперболы имеет

неудобный для исследования вид. Упростим это уравнение.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

s

Обозначим через r1 = (x + c)2 + y2 и

s

r2 = (x − c)2 + y2. Тогда

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit