На практике часто используют параметрические уравнения окружности:
x = a + R cos t
0 ≤ t < 2π.
y = b + R sin t,
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Посмотрите |
как |
меняется вид |
окружно- |
сти |
при |
изменении |
значений |
координат a |
и |
b |
её |
центра и |
её |
радиуса |
r. |
Параметр |
p, |
p := 2πp, |
0 ≤ p ≤ 1, определяет положение |
точки на окружности. При изменении значе-
ний параметра p, 0 ≤ p ≤ 1, точка движется по окружности.
Окружность (x − a)2 + (y − b)2 = r2.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Фиксируем плоскость π и правую декартову систему координат (O,~ı,~|) в пространстве V2(π).
|
|
|
|
|
Пример 226. Центр окружности O : (x − a)2 + (y − b)2 = R2 находится |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
в точке C(1, 8) и её радиус равен 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите a, b и R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Пример 227. Уравнение x2 + y2 − 10y + 16 = 0 определяет окружность. |
|
|
|
|
|
Найдите её радиус R и координаты центра. |
|
|
|
|
|
TПример 228. Окружность проходит через точку A(5, −5) и её центр
совпадает с точкой C(−3, −5). Найдите радиус R окружности.
Пример 229. Центр окружности совпадает с точкой C(5, 1) и прямая 
T
П : x + y + 8 = 0 является касательной к окружности. Найдите радиус
R окружности.
Пример 230. Точки A(4, −2) и B(−4, −2) являются концами одного из 
T
диаметров окружности. Найдите радиус R окружности и координаты
центра C окружности.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
Пример 231. На прямой П : Ax+ By + C = 0 находится центр окружно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
сти O : x2 + y2 + 6x − 8y + 16 = 0 и прямая П перпендикулярна прямой |
|
T |
|
|
|
|
|
П1 : 4x + y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Найдите A, B и C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 232. Прямая П : Ax + By + C = 0 касается окружности |
|
|
|
|
|
T |
|
|
O : x2 + y2 + 2x − 2y − 2 = 0 в точке M1(−2, 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите A, B и C. |
Пример 233. Найдите радиус R окружности, если известно, что она
T
касается двух параллельных прямых
П1 : −5x − 3y + 23 = 0 и П2 : −5x − 3y − 10 = 0.
Пример 234. Окружность касается прямых
TП1 : −2x + 5y − 4 = 0 и П2 : −2x + 5y − 19 = 0, а её центр находится
на прямой П3 : 3x − 2y − 5 = 0.
Найдите координаты центра и радиус R окружности.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
10.5. Эллипс
Определение 94. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, по-
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Задача 19. Фиксирована плоскость π и две точки F1, F2 π – фокусы эллипса. Найти уравнение эллипса.
Обратите внимание, ставится задача получить уравнение эллипса, но системы координат в V2(π) ещё нет. Выбор подходящей системы координат – это очень важный момент при написании уравнения кривой.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Систему координат выберем следу-
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть F1(−c, 0), F2(c, 0), c > 0.
|
( Точка M(x, y) лежит на эллипсе ) |
Опр.94 |
|
|
|
(d(F1, M) + d(M, F2) = 2a, где число a |
|
|
|
Ф.(2.9) |
задано) |
|
|
v |
|
2 |
+ y |
2 |
v |
|
|
c) |
2 |
+ y |
2 |
= 2a |
|
. |
u(x + c) |
|
|
+ u(x |
− |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.4) |
|
Полученное уравнение эллипса имеет неудоб-
ный для исследования вид. Упростим это уравнение.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
s
Обозначим через r1 = (x + c)2 + y2 и
s
r2 = (x − c)2 + y2. Тогда:
( Точка M(x, y) лежит на эллипсе ) |
(10.4) |
|
(r1 + r2 = 2a)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
1 |
|
r |
2 |
= 2cx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2a(r |
|
− |
r ) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
+ r |
|
|
= 2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
возводим в квадрат |
= a + |
|
x = u(x + c) |
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
− |
c2 |
|
+ y2 = a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
c2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
