Решение. Обозначим искомое расстояние че-
−−−−→
рез d(П1, П2). Направленный отрезок M1M2 задаёт вектор ~a = ~rM2 − ~rM1. Построим па-
раллелепипед на векторах p~1, p~2 и ~a, отложенных от точки M1 П1, в основании которого лежит параллелограмм, построенный на векторах p~1, p~2, отложенных от точки M1 П1
(см. рис. 44). Легко видеть, что d(П1, П2) равно высоте построенного параллелепипеда.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(~a, p~ |
, p~ ) |
|
|
(~r |
|
~r |
, p~ |
, p~ |
) |
|
|
|
| |
1 |
2 |
| |
|
|
M2 |
− |
M1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(П |
, П |
) = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|[p~1, p~2]| |
|
|
|
|
|[p~1, p~2]| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.3)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Задача 17. Охарактеризовать взаимное расположение прямых:
П1 : ~rM = ~rM1 + t~p1, t R, П2 : ~rM = ~rM2 + t~p2, t R.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. (Прямые П1 и П2 параллельны, но не совпадают) (векторы p~1 и p~2 коллинеарные, но векторы ~rM2 − ~rM1 и p~1 неколлинеарные).
(Прямые П1 и П2 совпадают)
(векторы p~1, p~2 и ~rM2 − ~rM1 коллинеарные). (Прямые П1 и П2 пересекаются)
(10.3)
(d(П1, П2) = 0) (векторы p~1, p~2 неколли-
неарные и (~rM2 − ~rM1, p~1, p~2) = 0). (Прямые П1 и П2 скрещиваются)
(10.3)
( d(П1, П2) =6 0) (векторы p~1, p~2 неколлинеарные и (~rM2 − ~rM1, p~1, p~2) 6= 0 ).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Фиксируем правую декартову систему координат ~ в пространстве .
(O,~ı,~|, k) V3
Пример 202. Задана прямая
П: π1 : 2x + 4y + z − 2 = 0 .
π2 : x + 4y + 3z + 3 = 0
Определить координаты какого-нибудь направляющего вектора p~ прямой П.
Пример 203. Прямая
П : x − 2 = y − 9 = z − 1 l m n
коллинеарна (параллельна) геометрическому вектору p~ = (8, 9, −3). Найдите l, m и n.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 204. Задана прямая
П : x − 1 = y + 7 = z . 8 −9 7
Определите координаты какой-нибудь точки M, лежащей на прямой П. Определите координаты какого-нибудь направляющего вектора p~ прямой П.
Пример 205. Задана прямая
П : |
x = 7 − t |
, t R. |
y = 7 5t |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
z = −7 + 3t
Определите координаты какой-нибудь точки M, лежащей на прямой П.
Пример 206. Точка M1(x, −1, z) лежит на прямой
П : |
x − 1 |
= |
y + 3 |
= |
z + 5 |
. |
−3 |
|
|
|
2 |
5 |
|
Найдите координаты точки M1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
Пример 207. Прямая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П : |
x − 5 |
= |
y − 2 |
|
= |
z − 8 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проходит через точку M1(−1, 1, −7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите l, m и n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 208. Прямая |
П проходит через две точки M0(4, −2, −1) и |
|
|
|
|
|
T |
|
|
M1(6, 2, −4). Определите |
координаты какого-нибудь направляющего |
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора p~ прямой П. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 209. Прямая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П : |
x − 4 |
= |
y − 3 |
|
= |
z + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
параллельна прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П1 : |
2x + 2y − 4z |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
− |
2y |
− |
2z |
− |
5 = 0 |
|
|
|
|
Найдите l, m и n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 210. Прямая
x = 6 + lt
П : y = 4 + mt , t R
z = −9 + nt
параллельна прямой
3x + 3y + 5z − 7 = 0 П1 : 3x − 2y − 5z + 8 = 0 .
Найдите l, m и n.
Пример 211. Прямая
|
П : |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
|
l |
m |
n |
|
|
|
|
проходит через точку M0(4, −2, 6) перпендикулярно плоскости π1 :
−9x − 2y − 3z − 5 = 0.
Найдите x0, y0, z0, l, m и n.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
Пример 212. Прямые |
x = −1 + 2t |
|
|
|
|
|
|
|
П : |
|
|
|
|
|
|
|
y = 3 5t , t R |
|
|
|
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
z = 2 − 4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
y − 6 |
|
z − z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П1 : |
x + 11 |
= |
= |
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
пересекаются. Найти z1. |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
T
T
T
T
T
T
T
