Решение. По определению 92:
|
|
|
|
cos(π1 π2) |
= cos(~nπ1 ~nπ2) |
(2.11) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
(~nπ1, ~nπ2) (2.7) |
|
|
|
A1A2 + B1B2 + C1C2 |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
s |
|
|
|
s |
|
|
~n ~n |
|
|
A2 |
+ B2 |
+ C2 |
A2 |
+ B2 + C2 |
|
|
| π1|| |
π2| |
1 |
1 |
1 2 |
2 |
2 |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Фиксируем правую декартову систему координат ~ в пространстве .
(O,~ı,~|, k) V3
|
|
|
|
|
Пример 186. Плоскость π : Ax + By + Cz + D = 0 проходит через |
|
|
|
|
T |
|
|
|
точку M0(1, −4, −1) и имеет нормальный вектор ~n = (−6, 1, 8). Найдите |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A, B, C и D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 187. Заданы две точки M1(7, −8, 2) и M2(−9, −6, −1). Направ- |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
−−−→1 2 |
|
|
|
|
|
|
ленный отрезок M M |
задаёт геометрический вектор ~a. Найдите его |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 188. Плоскость π : −2x−9y + 7z + D = 0 проходит через точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
T |
|
|
M0(3, 1, |
|
5). |
|
|
|
|
|
|
|
Найдите D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 189. Заданы две точки M1(−1, 2, 2) и M2(3, −3, 1). Плоскость |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
π : Ax + By + Cz + D = 0 проходит через точку M1 перпендикулярно |
|
|
|
|
|
−−−→1 2 |
. Найдите A, B, C и D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отрезку M M |
TПример 190. Определить координаты какого-нибудь нормального век-
тора плоскости π : −5x + 3y + 2z + 9 = 0.
TПример 191. Плоскости π1 : 2x+sy−3z−7 = 0 и π2 : mx+4y−6z+8 = 0
параллельные. Определите m и s.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
TПример 192. Плоскости π1 : x+ sy + z + 8 = 0 и π2 : −3x−y −z + 1 = 0
перпендикулярные. Найдите s.
Пример 193. Плоскость π : Ax + By + Cz + D = 0 и
T
π1 : 6x + 6y + 9z − 7 = 0 параллельные. Определите координаты какогонибудь нормального вектора плоскости π.
Пример 194. Плоскость π : Ax+By +Cz +D = 0 проходит через точку 
T
M0(−1, 4, −3) параллельно двум геометрическим векторам ~a = (−3, 2, 5)
и ~ − Определите и
b = (2, 3, 2). A, B, C D.
Пример 195. Плоскость π : Ax + By + Cz + D = 0 проходит через
|
|
|
точки M1(−2, 2, 1) и M2(4, 4, −5) параллельно геометрическому вектору |
|
T |
|
|
|
|
~a = (−1, 5, 2). |
|
|
|
|
|
|
Определите A, B, C и D. |
TПример 196. Плоскость π : Ax+By +Cz +D = 0 проходит через точки
M0(1, 1, −5), M1(−2, 2, 1) и M2(−5, 1, 3). Найдите A, B, C и D.
Пример 197. Плоскость π : Ax+ By + Cz + D = 0 проходит через точку 
T
M1(−2, 4, 3) параллельно плоскости π1 : 3x − 9y + z + 4 = 0.
Найдите A, B, C и D.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
Пример 198. Плоскость π : Ax+By +Cz +D = 0 проходит через точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1(3, 2, −3) перпендикулярно к двум плоскостям π1 : 3x−3y−5z−9 = 0 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
и π2 : −x + 5y + z − 7 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите A, B, C и D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 199. Плоскость π : Ax+By +Cz +D = 0 проходит через точки |
|
|
|
|
|
M1(−2, 2, 2) и M2(0, 1, −2) перпендикулярно к плоскости |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
π1 |
: 7x + 27y − 34z + 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите A, B, C и D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 200. Плоскость π : Ax + By + Cz + D = 0 проходит через |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
точку M1(2, −5, 5) и ось Oy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите A, B, C и D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 201. Установить, что три плоскости |
|
|
|
|
π1 |
: 2x + y − z − 4 = 0, |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
: x + 2y − z − 4 = 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π3 |
: −x−y + z + 2 = 0 имеют одну общую точку и найти её координаты. |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
10.3.Прямая в пространстве
Зафиксируем правую декартову систему коор-
динат ~ в пространстве .
(O,~ı,~|, k) V3
Задача 13. Найти уравнение прямой П, проходящей через данную точку M0(x0, y0, z0) коллинеарно вектору p~ = (l, m, n).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Легко видеть, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M(x, y, z) П) (~a k p~) |
|
|
|
~r |
~r |
k |
~ð! |
Ò.7 |
~r |
= ~r |
|
+ t~p! Ò.5 |
M − |
M0 |
|
|
|
|
M |
|
|
M0 |
|
|
x = x |
0 |
+ lt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y |
|
|
+ mt , t |
|
R |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z |
0 |
+ nt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
x0 |
= |
|
− |
y0 |
= |
|
− |
|
. |
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
z0 |
|
|
l |
|
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
– канонические урав-
= z−z0 n
П : ~rM = ~rM0 + t~p, t R – параметрическое уравнение прямой в векторной форме записи;
|
x = x |
0 |
+ lt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
П : |
|
+ mt , t |
|
– параметрические |
y = y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z |
0 |
+ nt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения прямой в координатной форме
записи;
П : x−x0 = y−y0 l m
нения прямой.
Подчеркнём, что вектор p~ = (l, m, n) коллинеарен прямой П.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Всякий ненулевой вектор p~ V1(П) называется направляющим вектором прямой П.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Задача 14. Найти уравнение прямой П, проходящей через две данные точки M0(x0, y0, z0)
и M1(x1, y1, z1).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
