Тогда (см. задачу 8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
x |
|
y |
− |
y |
|
z |
− |
z |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π : |
|
x |
|
|
x y |
|
|
y z |
|
|
z |
|
= 0 |
|
|
− |
|
− |
|
− |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
y |
|
|
y |
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– уравнение плоскости, проходящей через три точки.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Задача 10. Найти расстояние от точки M1(x1, y1, z1) до плоскости
π : Ax + By + Cz + D = 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Обозначим искомое расстояние че-
рез d(M1, π).
Пусть точка M0(x0, y0, z0) принадлежит плоскости π, т.е.
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.
−−−−→
Тогда направленный отрезок M0M1 задаёт
вектор ~a = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) и нормальный вектор плоскости π – ~n = (A, B, C).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Очевидно, что
|
|
|
|
|
Опр.30 |
|
|
|
|
|
|
(2.10) |
|
(~a, ~n) |
|
(2.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(M1, π) = |
|
| |
пр |
~a |
| |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~n |
|
|
|
~n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x |
1 |
|
x |
) + B(y |
1 |
|
|
y |
) + C(z |
|
|
z |
) |
|
|
2.8) |
| |
|
− |
0 |
|
− |
0 |
|
|
|
1 |
− |
0 |
|
| |
( = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|~n| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|Ax1 |
+ By1 + Cz1 + D| |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√A2 + B2 + C2 |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак, |
|
|
|
d(M |
, π) = |
|Ax1 + By1 + Cz1 + D| |
. |
|
1 |
|
√A2 + B2 + C2 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Задача 11. Заданы две плоскости:
π1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
и
π2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Найти условия параллельности плоскостей и их пересечения.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. (Плоскости π1 и π2 пересекаются)(нормальные векторы ~nπ1 = (A1, B1, C1) и ~nπ2 = (A2, B2, C2) не коллинеарные). (Плоскости π1 и π2 параллельны) (нормальные векторы ~nπ1 k ~nπ2 ) (коэффициенты при переменных пропорциональны).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 92. Углом между плоскостями
π1 и π2 называется угол между их нормальными векторами.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Задача 12. Заданы две плоскости:
π1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
и
π2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Найти угол между ними.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
