Определение 91. Углом между прямыми на плоскости называется угол между их нормальными векторами.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Задача 6. Заданы две прямые, лежащие в плоскости π:
П1 : A1x + B1y + C1 = 0
и
П2 : A2x + B2y + C2 = 0.
Найти угол между ними.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Заданы общие уравнения прямых. Следовательно, мы можем записать декартовы координаты нормальных векторов этих прямых:
~nП1 = (A1, B1), ~nП2 = (A2, B2).
По определению 91:
cos(П П2) = cos(~n |
|
~n |
|
) |
(2.11) (~n |
П1 |
, ~n |
П2 |
) (2.7) |
П2 |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
П1 |
|
|
|
|~nП1||~nП2| |
|
|
|
|
|
|
A1A2 + B1B2
= s s .
A21 + B12 A22 + B22
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Фиксируем плоскость π и правую декартову систему координат (O,~ı,~|) в пространстве V2(π).
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Пример 156. Точка M0(x0, 2) лежит на прямой П : 2x + y − 6 = 0. |
|
|
|
|
|
|
Чему равна первая координата точки M0? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Пример 157. Определить координаты точки пересечения прямой |
|
|
|
|
|
|
П : 7x + 2y + 21 = 0 с осью Ox. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Пример 158. Точка M0(x0, y0) лежит на прямой П : 9x − 2y + 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
Найдите координаты точки M0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Пример 159. Найти координаты точки пересечения двух прямых |
|
|
|
|
|
|
П : −2x − 3y − 3 = 0 и L : x + y + 3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Пример 160. Дана прямая П : −5x − 7y − 1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
Определите координаты какого-нибудь нормального вектора прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Пример 161. Дана прямая П : 5x + y − 5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
Определите координаты какого-нибудь направляющего вектора прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Пример 162. Прямая П : 6x−3y + C = 0 проходит через точку M0(2, 2). |
|
|
|
|
|
|
Найдите C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 163. Прямая П : A(x + 6) + B(y − 4) = 0 ортогональна геомет- |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
рическому вектору ~n = (8, −7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите коэффициенты A и B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
Пример 164. Прямые П : Ax + By + 4 = 0 и П1 |
: |
4x − 4y − 5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
параллельные. Найдите коэффициенты A и B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
Пример 165. Прямые П : Ax + By + 8 = 0 и П1 |
: |
2x − 9y − 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
ортогональные. Найдите коэффициенты A и B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 166. Точка M0(−4, −4) лежит на прямой П : Ax + By + C = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллельной прямой П1 : 2x + 4y + 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите коэффициенты A, B и C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 167. Прямая П : Ax + By + C = 0 проходит через точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
M0(−1, 5) и ортогональна прямой П1 : 3x + 6y + 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите A, B и C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
Пример 168. Задана прямая П : x−4 |
= y+2 . Определите координаты |
|
|
|
|
|
|
−4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
какого-нибудь направляющего вектора прямой П. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 169. |
Задана прямая |
|
|
|
|
y = −7 |
− 3t |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
П : x = −2 + 5t |
, t |
|
R . Определите координаты какого-нибудь |
|
|
|
|
направляющего вектора прямой П.
Пример 170. Точка M1(x1, y1) лежит на прямой П : x−+13 = y−2 2 . Найдите координаты точки M1.
Пример 171. Точка M1(x1, y1) лежит на прямой
П : x = −5 + 8t , t R . Найдите координаты точки M1.
y = 2 − 5t
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −6 + mt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
, t |
R, параллельна прямой |
|
|
|
|
|
|
Пример 172. Прямая П : x = 6 + lt |
|
|
|
|
|
|
|
П |
1 : 6x − 3y + 4 = 0. |
|
l |
и |
m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 173. Прямая П : Ax + By + 4 = 0 ортогональна прямой |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
П1 |
: |
x = 8 − 3t |
, t |
|
R . Найдите A и B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
− |
9 |
− |
6t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 174. Прямая П : Ax + By + 4 = 0 ортогональна прямой |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
П1 : x+52 = |
y−4 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите A и B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 175. Прямая П проходит через точки M1(−3, −7) и M2(7, 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определите координаты какого-нибудь направляющего вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой П. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 176. Прямая П проходит через точку M0(2, 8) и коллинеарна |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
(параллельна) геометрическому вектору p~ |
= (−8, −8). Запишите пара- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метрические уравнения прямой П. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 177. Найдите координаты точки пересечения прямых |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
П : 4x + 3y + 3 = 0 и L : x = −2 + t |
, t |
|
R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
4 |
5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 178. Точка Q(xQ, yQ) является ортогональной проекцией точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (−7, 7) на прямую П : x + 14y + 92 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите координаты точки Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
Пример 179. Найдите точку M(xM , yM ) симметричную точке P (1, 3) |
|
|
|
|
|
|
|
относительно прямой П : −5x + 9y + 39 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
Пример 180. Даны концы A(−6, 7) и B(−7, 8) однородного стержня. |
|
|
|
|
|
|
|
Определите координаты его центра тяжести. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 181. Прямая П : Ax + By + C = 0 проходит через точ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
ку M0(−6, −1) и коллинеарна (параллельна) геометрическому вектору |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p~ = (−1, 5). Найдите A, B и C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 182. Даны координаты вершин треугольника A(−1, 4), B(4, 7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
и C(9, 2). На прямой П1 : A1x + B1y + C1 = 0 расположена медиана AM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольника 4ABC. Найдите A1, B1 и C1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
Пример 183. Даны две точки A(2, −5) и B(−8, 2). Направленный отре- |
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
зок AB задаёт геометрический вектор ~a. Найдите его координаты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 184. Даны координаты вершин треугольника A(−4, 9), B(6, 7) |
|
T |
|
|
|
и C(6, 4). На прямой П1 : A1x + B1y + C1 = 0 расположена высота AH |
|
|
|
|
|
треугольника 4ABC . |
|
|
|
|
|
Найдите A1, B1 и C1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 185. В линейном пространстве V2 фиксирована декартова система координат (O,~ı,~| ). Составить уравнения прямых, на которых 
T
лежат стороны 4ABC, зная координаты его вершины B(0, −3) и 
уравнения прямых П1 : x + y − 3 = 0, П2 : x − y + 7 = 0, на которых лежат средние линии 4ABC, проходящие через середину стороны AC.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Прямая линия на плоскости.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
10.2. Плоскость
Зафиксируем правую декартову систему коор-
динат ~ в пространстве .
(O,~ı,~|, k) V3
Задача 7. Найти уравнение плоскости π, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору ~n = (A, B, C).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
T
T
