Задача 3. Найти уравнение прямой П, проходящей через две данные точки M0(x0, y0) и
M1(x1, y1).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Для того чтобы записать уравнение прямой нужно:
1.найти координаты точки, лежащей на прямой (в нашем случае можно выбрать любую из точек M0 или M1, возьмём M0);
2.найти координаты нормального или направляющего вектора.
Заметим, что эти векторы ортогональны и, в силу теоремы 19, связаны соотношением (~n, p~) = 0. Поэтому, если известны координаты нормального вектора ~n = (A, B), то вектор p~ = (− B, A) – направляющий вектор прямой, и наоборот.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
−−−−→
В нашем случае направленный отрезок M0M1
задаёт вектор p~ = (x1 − x0, y1 − y0) V1(П). Каноническое уравнение:
|
П : |
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
|
x1 − x0 |
|
y1 − y0 |
называют |
уравнением |
прямой, |
проходящей |
через две |
заданные |
точки |
M0(x0, y0) и |
M1(x1, y1). |
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Задача 4. Заданы прямая
П: Ax + By + C = 0, П π,
иточка M1(x1, y1) π.
Найти расстояние от точки M1(x1, y1) до прямой П.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
y |
|
πR2 |
Решение. Обозначим |
|
|пр~n~a| |
искомое |
|
расстояние |
|
|
|
|
~n |
~a |
M1 |
через d(M1, П). Пусть |
|
M0 |
d(M1, П) |
|
точка M0(x0, y0) лежит |
|
|
|
|
M П |
x |
|
O |
|
на прямой П, т.е. |
|
|
|
|
Рис. 37 |
|
Ax0 + By0 + C = 0. |
|
Тогда |
направленный |
|
отрезок |
M M |
|
задаёт |
|
|
|
|
|
−−−−→ |
|
|
|
|
(x1 − x0, y1 − y0) |
0 |
|
1 |
|
|
вектор ~a = |
и нормальный |
|
вектор прямой П – ~n = (A, B) (координаты |
|
нормального вектора – коэффициенты при пе- |
|
ременных общего уравнения прямой). |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Очевидно, что
Опр.30 |
|пр~n~a| |
(2.10) |
d(M1, П) = |
= |
| |
1 |
− |
0 |
|
|
1 |
− |
0 |
|
| ( = |
|
A(x |
|
|
x |
) + B(y |
|
|
y |
) |
2.8) |
|
|
|
|
|
|~n| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|Ax1 |
+ By1 + |
C| |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√A2 + B2 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак, расстояние от точки M1(x1, y1) до прямой П : Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле:
d(M |
, П) = |
|Ax1 |
+ By1 + |
C| |
. |
|
1 |
|
√A2 + B2 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Задача 5. Заданы две различные прямые, лежащие в плоскости π:
П1 : A1x + B1y + C1 = 0
и
П2 : A2x + B2y + C2 = 0.
Найти условия пересечения прямых и их параллельности.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Рассмотрим систему
: A1x + B1y = − C1 |
(10.1) |
: A2x + B2y = − C2 |
|
(Прямые П1 и П2 пересекаются) (система (10.1) имеет единственное решение)
Ò.60 (ранг расширенной матрицы B равен ран-
гу основной матрицы A системы (10.1)).
Покажем, что rangA = rangB = 2. Предположим, что rangA = rangB < 2. Тогда в системе (10.1) имеются свободные пере-
менные и система (10.1) имеет бесчисленное множество решений, т.е. прямые совпадают.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак
|
A1 |
B1 |
|
|
Опр.104 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
(A1B2 |
− |
A2B1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
= 0). |
|
A2 |
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Прямые П1 и П2 параллельны)
(система (10.1) несовместная) Ò.60
(ранг расширенной матрицы больше ранга
Опр.71
основной матрицы системы (10.1)
|
A1 |
B1 |
|
= 0 и |
|
− |
C1 |
B1 |
|
= 0 или |
|
A1 |
− |
C1 |
|
= 0 Ò.56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
B |
2 |
|
|
|
|
C B |
2 |
|
6 |
|
A |
C |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
2 |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( коэффициенты при переменных пропорциональны).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
