ALGEBRA

рованный базис (f¯) (канонический базис квадратичной формы ψ).

6. Записываем ортогональную матрицу преобразования координат:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

мированный базис (f¯) (канонический базис квадратичной формы ψ).

6. Записываем ортогональную матрицу преобразования координат:

51 −2

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

7. Записываем выражения “старых” координат произвольного вектора x¯ = (x1, x2)T(e¯) через

“новые” x¯ = (y1, y2)T(f¯) и наоборот:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 155. Привести к главным осям квадратичную форму

ψ(x¯) = 4x21 + 4x22 + x23 + 2x1x2 − 4x1x3 + 4x2x3,

где x¯ = (x1, x2, x3)T(e¯) в некотором фиксированном ортонормированном базисе (e¯) =

(e1, e2, e3) евклидова пространства E3.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. 1. По квадратичной форме ψ, строим симметрическую матрицу

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2. Составляем характеристическое уравнение

det Ψ(e¯) − λE = 0

и находим его корни (собственные числа матрицы Ψ(¯e)).

−λ3 + 9λ2 − 15λ − 25 = 0.

Методом подбора находим λ1 = −1. Тогда

−λ3+9λ2−15λ−25 = −(λ+1)(λ−5)2 и λ2,3 = 5.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3. Зная собственные числа матрицы Ψ(e¯), записываем квадратичную форму ψ в канониче- ском виде :

ψ(y¯) = −y12 + 5y22 + 5y32,

где y¯ = (y1, y2, y3)T(f¯).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

4.1 Для корня λ1 = −1 строим ортонормированный базис линейного пространства решений системы

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решая систему методом Гаусса, получим

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1

ная система решений) и

базиса квадратичной формы ψ.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit