ALGEBRA

6. Записываем ортогональную матрицу преобразования координат:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

7. Записываем выражения “старых” координат произвольного вектора x¯ через “новые” и наоборот:

(x1, x2, . . . , xn)T(e¯) = C · (x˜1, x˜2, . . . , x˜n)T(f¯).

(x˜1, x˜2, . . . , x˜n)T(f¯) = CT · (x1, x2, . . . , xn)T(e¯).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 154. Привести к главным осям квадратичную форму

ψ(x¯) = 3x21 + 8x1x2 − 3x22,

где x¯ = (x1, x2)T(e¯) в некотором фиксированном ортонормированном базисе (e¯) = (e1, e2) евклидова пространства E2.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. 1. По квадратичной форме ψ, строим симметрическую матрицу

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2. Составляем характеристическое уравнение

λ1 = 5, λ2 = −5.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3. Зная собственные числа матрицы Ψ(e¯), записываем квадратичную форму ψ в канониче- ском виде :

ψ(y¯) = 5y12 − 5y22,

где y¯ = (y1, y2)T(f¯).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

4.1 Для корня λ1 = 5 строим ортонормированный базис линейного пространства решений системы

Решая систему методом Гаусса, получим

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

x2 = t

система решений) и

базиса (f¯) квадратичной формы ψ.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

4.2 Для корня λ2 = −5 строим ортонормированный базис линейного пространства решений системы

Решая систему методом Гаусса, получим

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда

x1 = t

общее решение,

x2 = −2t

ная система решений) и

базиса (f¯) квадратичной формы ψ.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit