ALGEBRA

Коэффициенты aij квадратичной формы образуют квадратную симметрическую матрицу

которую называют матрицей квадратичной формы ψ в базисе (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

При изменении базиса матрица Ψ(e¯) квадратичной формы тоже меняется. Можно показать, что в пространстве Ln существует базис

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Всякий базис, обладающий этим свойством, называется каноническим базисом квадра-

тичной формы ψ; выражение (9.1) – каноническим видом квадратичной формы ψ;

числа λ1, λ2, . . . , λn – каноническими коэффициентами квадратичной формы ψ.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Ни канонический базис, ни канонический вид квадратичной формы не определены однозначно. Но если квадратичная форма задана в n- мерном евклидовом пространстве, то можно построить канонический ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов её матрицы. При этом каноническими коэффициентами квадратичной формы являются собственные числа матрицы квадратичной формы. Векторы ортонормированного канонического базиса определяют оси, которые называются главными осями квадратичной формы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Процесс приведения квадратичной формы к каноническому виду путём перехода к ортонормированному базису из собственных векторов матрицы квадратичной формы называется приведением квадратичной формы к главным осям.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Опишем, без обоснования, последовательность действий, которые нужно совершить, чтобы привести квадратичную форму ψ к главным осям:

1. По квадратичной форме ψ, заданной в n−мерном евклидовом пространстве E строим

симметрическую матрицу Ψ(e¯), Ψ(e¯) = ΨT(e¯), где

(e¯) = (e¯1, e¯2, · · · , e¯n) ортонормированный базис евклидова пространства E;

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2. Составляем характеристическое уравнение

det Ψ(¯e) − λE = 0

и находим его корни (собственные числа матрицы Ψ(e¯) ). В силу симметричности матри-

цы Ψ(e¯), характеристическое уравнение имеет

ровно n вещественных корней (не обязательно различных );

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3. Зная собственные числа матрицы Ψ(¯e) , за-

писываем квадратичную форму ψ в каноническом виде (9.1);

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

4. Для корня λ1 записываем однородную систему линейных уравнений

Строим фундаментальную систему решений этой системы, которая имеет ровно столько линейно независимых решений, какова кратность корня λ1.

Если кратность корня λ1 больше единицы, то ортонормированный базис пространства решений строим методом ортогонализации Шмидта по фундаментальной системе решений;

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

5. Проделав указанные операции с каждым корнем, получим систему из n взаимно ортогональных единичных векторов, т.е. ортонормированный базис (f¯) пространства E:

f¯1 = (c11, c21, . . . , cn1)T ; f¯2 = (c12, c22, . . . , cn2)T ;

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

f¯n = (c1n, c2n, . . . , cnn)T ;

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit