ALGEBRA

Таким образом, в примере 152 мы имели самый общий вид билинейной формы в n- мерном линейном пространстве.

Числа (коэффициенты билинейной формы) aki образуют квадратную матрицу

которую называют матрицей билинейной формы ϕ в базисе (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 153. Пусть (~e) = (~e1, ~e2, ~e3) произвольный базис в пространстве геометрических

векторов V3 и вектор ~x = (x1, x2, x3)(e¯) фиксирован. Билинейная форма ϕ в V3 задана как

смешанное произведение:

ϕ(~y, ~z) = (~x, ~y, ~z), ~y, ~z V3.

Найдите матрицу Φ(~e) = (aij) M33(R) билинейной формы ϕ.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Так как

aij = ϕ(~ei, ~ej) = (x1~e1 + x2~e2 + x3~e3, ~ei, ~ej) = = x1(~e1, ~ei, ~ej) + x2(~e2, ~ei, ~ej) + x3(~e3, ~ei, ~ej),

то

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть ~y = (y1, y2, y3) и ~z = (z1, z2, z3).

Тогда

= [x3y1z2 − x2y1z3 − x3y2z1 + +x1y2z3 + x2y3z1 − x1y3z2] · (~e1, ~e2, ~e3) =

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Eсли (~e1, ~e2, ~e3) – правый декартов базис, то (~e1, ~e2, ~e3) = 1 и получаем известную форму-

лу (2.17) вычисления смешанного произведения в декартовых координатах.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Симметричные билинейные формы.

Определение 88. Билинейная форма ϕ называется симметричной, если для любых векторов x,¯ y¯ Ln имеет место

ϕ(x,¯ y¯) = ϕ(y,¯ x¯).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Eсли билинейная форма ϕ симметрична, то

aki = ϕ(e¯k, e¯i) = ϕ(e¯i, e¯k) = aik,

следовательно, матрица Φ(e¯) симметричной

билинейной формы ϕ в любом базисе (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln совпадает с

транспонированной матрицей ΦT(~e). Легко показать, что верно и обратное утверждение.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 89. Матрица, совпадающая с транспонированной матрицей, называется

симметрической.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

9.2.Квадратичные формы

Пусть задана симметричная билинейная фор-

ма ϕ на произвольном линейном пространстве

Ln.

Определение 90. Отображение ψ : Ln → R,

определяемое формулой:

ψ(x¯) = ϕ(x,¯ x¯), x¯ Ln,

называется квадратичной формой на Ln.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Eсли в линейном пространстве Ln фиксирован

базис (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n), то каждая квадратичная форма на Ln имеет вид:

где x1, x2, . . . , xn – координаты вектора x¯ относительно базиса (e¯).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit