Пусть Ln – произвольное линейное пространство.
Обозначим через Ln × Ln линейное пространство упорядоченных пар с компонентами из
Ln (см. пример 4).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 87. Отображение
ϕ : Ln × Ln → R
называется билинейной формой на Ln, если
x,¯ y,¯ z¯ Ln и α, β R выполняются соотношения:
ϕ(αx¯ + βz,¯ y¯) = α · ϕ(x,¯ y¯) + β · ϕ(z,¯ y¯); ϕ(x,¯ αy¯ + βz¯) = α · ϕ(x,¯ y¯) + β · ϕ(x,¯ z¯).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Первое соотношение означает линейность формы ϕ(x,¯ y¯) по первому аргументу, а вто-
рое – линейность формы ϕ(x,¯ y¯) по второму аргументу.
На множестве билинейных форм на Ln легко ввести линейную структуру, превратив тем самым это множество в линейное пространство. ( Сделайте это самостоятельно).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Примеры билинейных форм.
Пример 148. Скалярное произведение в пространстве геометрических векторов V3.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 149. Скалярное произведение в евклидовом пространстве En.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 150. Пусть вектор ~a V3 зафиксирован. Смешанное произведение (~a, ~x, ~y) есть билинейная форма в V3.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 151. Пусть L1, L2 : Ln → R – линейные формы. Тогда ϕ(x,¯ y¯) = L1(x¯) · L2(y¯) является, очевидно, билинейной формой в Ln.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 152. Пусть |
(e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) |
ба- |
зис |
в Ln |
и |
x¯ = |
(x1, x2, . . . , xn)(Te¯), y¯ |
= |
(y |
, y |
, . . . , y |
)T |
|
два произвольных вектора из |
1 |
|
2 |
|
n (¯e) |
|
|
|
Ln, заданных координатами относительно базиса. Тогда
|
n n |
akixkyi, |
ϕ(x,¯ y¯) = |
X X |
|
k=1 i=1 |
|
где aki (k, i = 1, 2, . . . , n) фиксированные числа, есть билинейная форма в Ln.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
9.1.Матрица билинейной формы.
Пусть в n-мерном линейном пространстве Ln
задана билинейная форма ϕ и пусть (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) базис в Ln.
Положим
ϕ(e¯k, e¯i) = aki (k, i = 1, 2, . . . , n).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда для любых x¯ = (x1, x2, . . . , xn)T(e¯), y¯ = (y1, y2, . . . , yn)T(e¯) Ln имеем
|
|
n |
xke¯k, |
n |
|
|
|
|
ϕ(x,¯ y¯) = ϕ X |
X |
|
yie¯i |
= |
|
n n |
k=1 |
|
n |
i=1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
= |
X X |
xkyiϕ(e¯k, e¯i) = |
X X |
akixkyi. |
|
k=1 i=1 |
|
|
k=1 i=1 |
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
