Пусть
(x1, x2, . . . , xn)T(e¯)
и
(x˜1, x˜2, . . . , x˜n)T(f¯)
– координаты вектора x¯ соответственно в “старом” и “новом” базисах:
|
n |
xie¯i = |
n |
x˜kf¯k |
(8.2) |
x¯ = |
X |
X |
|
i=1 |
|
k=1 |
|
|
Подставляя в (8.2) вместо векторов f¯k их выражения из (8.1), получим
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
n |
xie¯i = |
|
|
|
|
|
|
|
x¯ = |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
x˜kf¯k = |
x˜k |
|
|
|
|
|
= |
X |
X |
X cki e¯i = |
|
|
|
|
k=1 |
|
k=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
n |
n |
i |
k |
|
|
|
|
|
X |
X |
ckx˜ |
|
e¯i (8.3) |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, в силу единственности разложения вектора по базису (см. теорему 4 ), имеем,
что
xi = n ci x˜k, i = 1, n,
X
k=1 k
или в подробной записи
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
x1 |
= c1x˜1 |
+ c1x˜2 + + c1 x˜n |
|
|
1 |
|
2 |
|
· · · |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ c x˜ + + c x˜ |
|
|
x = c x˜ |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
n |
1 |
n |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ c x˜ + + c x˜ |
|
x = c x˜ |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (8.4) определяют преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому. Они выражают “старые” координаты через “новые”. Матрица
C = (cik) Mnn(R)
называется матрицей преобразования координат. В ней k-й столбец состоит из “старых” координат k-го “нового” базисного вектора.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как система векторов f¯1, f¯2, . . . , f¯n линейно независимая (“новый” базис), то столбцы матрицы C, состоящие из “старых” координат векторов f¯1, f¯2, . . . , f¯n, тоже линейно независимые и, в силу теоремы 56, det(C) 6= 0.
Формулы (8.4) могут быть записаны ввиде следующего матричного равенства:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
(x1, x2, . . . , xn)T(e¯) = C · (x˜1, x˜2, . . . , x˜n)T(f¯).
Умножая обе части этого равенства на матрицу C−1, обратную матрице C, найдём выражение для обратного преобразования:
(x˜1, x˜2, . . . , x˜n)T(f¯) = C−1 · (x1, x2, . . . , xn)T(e¯).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В евклидовом пространстве.
Рассмотрим в евклидовом пространстве E, dimE = n, два ортонормированных базиса:
(e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) – “старый” базис
и
(f¯) = (f¯1, f¯2, . . . , f¯n) – “новый” базис.
Положим
|
n |
|
|
|
f¯k = |
X |
cki e¯i, k = 1, n. |
|
i=1 |
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть
(x1, x2, . . . , xn)T(¯e)
и
(x˜1, x˜2, . . . , x˜n)T(f¯)
– координаты вектора x¯ соответственно в “старом” и “новом” базисах.
Тогда
(x1, x2, . . . , xn)T(e¯) = C · (x˜1, x˜2, . . . , x˜n)T(f¯).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Столбцы матрицы преобразования координат C = (cik) Mnn(R) состоят из “старых” координат “нового” ортонормированного базиса. Поэтому сумма квадратов элементов каждого её столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух различных столбцов равна нулю:
n |
|
|
|
X |
cki cji = δjk, k, j = 1, n. |
i=1 |
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Этим же свойством обладают элементы строк транспонированной матрицы CT . Но тогда
CT · C = E, где E – единичная матрица. Следовательно C−1 = CT .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 86. Матрица C = (cik) Mnn(R)
называется ортогональной, если транспонированная матрица CT совпадает с обратной матрицей C−1, т.е. CT = C−1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
