Запишем систему для определения собственных векторов, соответствующих собственному числу λ1 = −1:
|
0x1 |
− |
2x2 |
+ 2x3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0x |
|
+ 2x |
|
+ 0x = 0 |
(7.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0x + 0x + 2x = 0 |
|
Общее решение системы (7.23) имеет вид:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Построим фундаментальную систему решений системы (7.23).
Она состоит из одного решения:
x¯1 = (1, 0, 0)T – собственный вектор, соответствующий собственному числу λ1 = −1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Запишем систему для определения собственных векторов, соответствующих собственному числу
λ2,3 = 1:
|
− |
2x1 |
− |
2x2 |
+ 2x3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0x |
+ 0x |
|
+ 0x = 0 |
(7.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
0x + 0x + 0x = 0 |
|
|
|
|
Общее решение системы (7.24) имеет вид:
x1 |
= |
t1 |
+ t2, |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t |
, |
t , t |
|
|
|
. |
x |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= t , |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Построим фундаментальную систему решений системы (7.24).
Она состоит из двух решений:
x¯2 = (−1, 1, 0)T , x¯3 = (1, 0, 1)T – линейно независимые собственные вектора, соответствую-
щие кратному собственному числу λ2,3 = 1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Покажем, что система векторов
x¯1 = (1, 0, 0)T , x¯2 = (−1, 1, 0)T , x¯3 = (1, 0, 1)T
линейно независима. Для этого составим вспомогательную матрицу B, столбцами которой являются наши векторы:
|
1 |
− |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 0 |
|
B = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как
|
1 |
|
1 1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 0 |
|
= 1, |
det(B) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то, в силу теоремы 56, столбцы матрицы B, т.е. система векторов
x¯1 = (1, 0, 0)T , x¯2 = (−1, 1, 0)T , x¯3 = (1, 0, 1)T
линейно независима, а, следовательно, её можно взять за новый базис (f¯) = (x¯1, x¯2, x¯3) пространства R3.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда
−1 0 0
матрица линейного оператора A : R3 → R3 в базисе (f¯).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Собственные числа и собственные векторы матриц.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Глава 8
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
КООРДИНАТ
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Рассмотрим в линейном пространстве Ln два
базиса: (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) – “старый” базис и (f¯) = (f¯1, f¯2, . . . , f¯n) – “новый” базис.
Взаимное расположение векторов базиса определится, если задать координаты векторов одного базиса относительно другого. Пусть
|
n |
|
|
|
|
f¯k = |
X |
cki e¯i, k = 1, n. |
(8.1) |
|
i=1 |
|
|
|
|
Установим связь между координатами одного и того же вектора в различных базисах.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
