ALGEBRA

Тот факт, что среди всех линейных операторов A : Ln → Ln мы выделяем операторы простой структуры, объясняется просто. Эти и только эти линейные операторы в некотором базисе имеют диагональные матрицы вида (7.13).

Действительно, пусть x¯1, x¯2, . . . , x¯n – линейно независимые собственные вектора оператора A : Ln → Ln. Возьмём их в качестве базисных векторов линейного пространства Ln и построим матрицу оператора A в этом базисе

(e¯) = (x¯1, x¯2, . . . , x¯n).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Имеем

Ax¯1 = λ1x¯1, Ax¯2 = λ2x¯2,

· · · · · · · · · · · · ,

Ax¯n = λnx¯n.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда матрица Ae¯ линейного оператора A : Ln → Ln в базисе (e¯) из собственных векторов будет иметь следующий вид:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Eсли же линейный оператор A : Ln → Ln в некотором базисе x¯1, x¯2, . . . , x¯n имеет матрицу вида (7.16) с какими-то, не обязательно различными числами λ1, λ2, . . . , λn на главной диагонали, то x¯1, x¯2, . . . , x¯n являются собственными векторами линейного оператора A : Ln → Ln, соответствующими собственным числам λ1, λ2, . . . , λn.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Таким образом, действие любого оператора простой структуры всегда сводится к “растяжению” координат вектора в данном базисе. Eсли бы все линейные операторы были простой структуры, то вопрос о выборе базиса, в котором матрица оператора имеет наиболее простой вид, был бы полностью решён. Однако операторами простой структуры не исчерпываются все линейные операторы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Отыскание собственных чисел и собственных векторов.

Пусть задан линейный оператор A : Ln → Ln. Фиксируем базис (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) линейного пространства Ln. Пусть Ae¯ = (aik) Mnn(R) матрица оператора A, в базисе (e¯) пространства Ln, как области определения, и в том же базисе (e¯) пространства Ln, как области значений. Пусть, далее,

собственный вектор соответствующий собственному числу λ.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда

Принимая во внимание (7.7), равенство (7.17) равносильно матричному равенству Ae¯x¯ = λx¯ или

где E = (δki ) Mnn(R) – единичная матри-

ца. Соотношение (7.18) – это матричная форма записи системы n линейных однородных уравнений с n неизвестными. Перепишем эту систему в развёрнутом виде:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Для того чтобы система линейных однородных уравнений (7.19) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель основной матрицы этой системы был равен нулю (см. теорему 62), т.е.

Равенство (7.20) представляет собой алгебраическое уравнение n-й степени относитель-

но λ.

Уравнение (7.20) часто встречается в различных проблемах геометрии, механики, астрономии, физики и носит название характеристического уравнения матрицы Ae¯. В подробной записи уравнение (7.20) имеет вид:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

(7.21)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit