ALGEBRA

Определение 83. Число λ R называется

собственным числом, а ненулевой вектор x¯ – собственным вектором, соответствующий собственному числу λ, линейного оператора A On,n, если они связаны между собой соотношением:

Ax¯ = λx¯.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Заметим, что если x¯ есть собственный вектор, соответствующий собственному числу λ, то любой вектор βx,¯ при β 6= 0, будет также собственным вектором. Eсли собственному числу λ соответствуют два собственных вектора x¯ и y,¯ то собственным вектором будет и любой ненулевой вектор αx¯ + βy¯.

Нулевой вектор по определению не является собственным вектором.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из определения 83 следует, что собственными векторами нулевого линейного оператора 0 : Ln → Ln и единичного линейного оператора E : Ln → Ln являются все ненулевые векторы линейного пространства Ln.

Эти линейные операторы имеют лишь по одному собственному числу, равному соответственно 0 и 1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 68. Система собственных векторов

x¯1, x¯2, . . . , x¯k

линейного оператора A, соответствующих различным собственным числам λ1, λ2, . . . , λk, линейно независима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство будем вести методом индукции по числу собственных векторов.

Так как собственные векторы ненулевые по определению, то теорема верна при k = 1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть теорема верна для любой системы из k − 1 собственных векторов, но не верна для системы собственных векторов

x¯1, x¯2, . . . , x¯k.

Тогда система этих векторов будет линейно зависимой, т.е. β1, β2, . . . , βk R, среди которых есть неравные нулю, например β1 6= 0, и выполняется равенство

Действуя линейным оператором A на (7.14), получим

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

· · · ¯ (7.15)

β1λ1x¯1 + β2λ2x¯2 + + βkλkx¯k = 0.

Умножив (7.14) на λk и вычитая его из (7.15), находим

β1(λ1 − λk)x¯1 + β2(λ2 − λk)x¯2 + · · ·

· · · − ¯

+ βk−1(λk−1 λk)x¯k−1 = 0.

Согласно индуктивному предположению, отсюда следует, что все коэффициенты при век-

торах x¯1, x¯2, . . . , x¯k−1 равны нулю. В частности, β1(λ1−λk) = 0, что противоречит условию

λ1 6= λk и предположению β1 6= 0. Следовательно, система векторов x¯1, x¯2, . . . , x¯k линейно независима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следствие 68.1. Любой линейный оператор A : Ln → Ln не может иметь более n различных собственных чисел.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Особый интерес представляет тот случай, когда линейный оператор A : Ln → Ln имеет ровно n различных собственных чисел. В этом случае, в силу теоремы 68, мы можем выбрать базис линейного пространства Ln, состоящий из собственных векторов оператора A.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 84. Линейный оператор A :

Ln → Ln, называется оператором простой структуры, если он имеет n линейно независимых собственных векторов.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit