Далее надо показать, что операции сложения
линейных операторов и умножения линейного оператора на число удовлетворяют аксиомам
1-8 из определения 1. Покажем это, используя связь между линейными операторами и их матрицами в фиксированных базисах.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) базис пространства
Ln, (f¯) = (f¯1, f¯2, . . . , f¯m) базис пространства Lm и A, B, C = A + B On,m. Пусть, далее,
Af¯e¯ = (aik), Bf¯e¯ = (bik), Cf¯e¯ = (cik) Mmn (R)
матрицы операторов A, B, C в зафиксированных базисах, соответственно. Покажем, что
Cf¯e¯ = Af¯e¯ + Bf¯e¯.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В силу определения матрицы линейного оператора, имеем
|
Ce¯k = |
m |
cki f¯i |
|
X |
|
|
|
i=1 |
|
для всех k = |
|
и |
|
|
1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр.81 |
Ae¯k |
Ce¯k = (A + B)e¯k |
= |
= |
m |
i ¯ |
m |
i ¯ |
m |
|
i |
X |
akfi + |
X |
bkfi = X |
|
ak |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В силу единственности разложения вектора по базису (см. теорему 4), из (7.9) и (7.10) следует, что
cik = aik + bik, i = 1, m, k = 1, n,
т.е.
Cf¯e¯ = Af¯e¯ + Bf¯e¯.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть λ R, A, C = λ · A On,m и Af¯e¯ = (aik), Cf¯e¯ = (cik) Mmn (R) матрицы операторов A, C в зафиксированных базисах, соот-
ветственно.
Покажем, что Cf¯e¯ = λ · Af¯e¯. В силу определения матрицы линейного оператора, имеем
Ce¯k = |
m |
cki f¯i |
(7.11) |
X |
|
i=1 |
|
|
для всех k = 1, n и
Опр.82 |
|
Ce¯k = (λ · A)(e¯k) = |
λ |
= λ m ai f¯
X
i=1 k i
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В силу единственности разложения вектора по базису (см. теорему 4), из (7.11) и (7.12) следует, что
cik = λ aik, i = 1, m, k = 1, n,
т.е.
Cf¯e¯ = λ · Af¯e¯.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак, мы показали, что при сложении операторов их матрицы в фиксированных базисах складываются, а при умножении оператора на число его матрица умножается на это же число.
Так как Mmn (R) линейное пространство, то аксиомы 1-8 имеют место для матриц, а, следовательно, и для соответствующих линейных
операторов.
Линейное пространство операторов, действующих из Ln в Lm, будем обозначать также
On,m.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
7.4. Собственные числа и собственные векторы
Пусть задан линейный оператор A : Ln → Ln
и некоторый базис (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) линейного пространства Ln. Обозначим через
Ae¯ = (aik) Mnn(R) матрицу оператора A, в базисе (e¯) линейного пространства Ln, как об-
ласти определения, и в том же базисе (e¯) пространства Ln, как области значений.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Меняя базис (e¯) пространства Ln мы одно-
временно изменяем матрицу Ae¯. Может оказаться, что для некоторого ненулевого векто-
ра x¯1 образ и прообраз связаны соотношением: Ax¯1 = λ1x¯1. Eсли этот ненулевой вектор включить в базис, например в качестве вектора e¯1, то первый столбец матрицы Ae¯ в этом
базисе будет иметь вид (λ1, 0, 0, . . . , 0)T .
А если удастся весь базис составить из таких векторов, то матрица оператора A в таком базисе будет иметь наиболее простой вид:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
λ |
1 |
0 |
0 |
· · · |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
λ |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
λ |
|
|
|
0 |
|
(7.13) |
|
3 |
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
. . |
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
λ |
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
